Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dada la matriz $M=\begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & -a \end{pmatrix}$, siendo a un número real, se pide:

a) Calcula el valor de a para que se cumpla $M^{2}=I$. Para ese valor de a, calcula la matriz inversa de M y halla $M^{21}$. (1 punto)
b) Para $a=1$: calcula una matriz X que verifique la igualdad $M\cdot X+M^{T}=2I$. (1 punto)

I representa la matriz identidad de orden 2 y $M^{T}$ la matriz traspuesta de M.

$\textbf{a) Calcula el valor de a para que se cumpla } \boldsymbol{M^{2}=I}\textbf{. Para ese valor de a, calcula la matriz inversa de M y halla } \boldsymbol{M^{21}}\textbf{. (1 punto)}$

Se calcula primero el cuadrado de la matriz en función del parámetro.

$M^{2}=\begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & -a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & -a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a^{2}+1 & a-a \\ a-a & 1+a^{2} \end{pmatrix}$

$M^{2}=\begin{pmatrix} a^{2}+1 & 0 \\ 0 & a^{2}+1 \end{pmatrix}$

Se impone que ese resultado sea la matriz identidad:

$a^{2}+1=1 \Rightarrow a^{2}=0 \Rightarrow a=0$

Para $a=0$ la matriz es $M=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

De la propia igualdad $M^{2}=I$ se deduce la inversa sin necesidad de calcularla por adjuntos: si $M\cdot M=I$, la matriz que multiplicada por $M$ da la identidad es ella misma.

$M\cdot M=I \Rightarrow M^{-1}=M=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

Para la potencia se descompone el exponente aprovechando de nuevo que el cuadrado es la identidad:

$M^{21}=M^{20}\cdot M=\left(M^{2}\right)^{10}\cdot M=I^{10}\cdot M=M$

$M^{21}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

Es decir, las potencias de $M$ se repiten de dos en dos: las de exponente par valen $I$ y las de exponente impar valen $M$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a=1}\textbf{: calcula una matriz X que verifique la igualdad } \boldsymbol{M\cdot X+M^{T}=2I}\textbf{. (1 punto)}$

Con $a=1$ la matriz es $M=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, que es simétrica, de modo que $M^{T}=M$.

Se despeja $X$ de la ecuación matricial multiplicando por la izquierda por la inversa de $M$, que es el lado por el que $M$ multiplica a $X$:

$M\cdot X=2I-M^{T}$

$X=M^{-1}\left(2I-M^{T}\right)$

$2I-M^{T}=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

Se calcula la inversa de $M$. Su determinante vale

$|M|=\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-1-1=-2\neq 0$

$M^{-1}=\dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

$X=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado en la ecuación de partida:

$M\cdot X+M^{T}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}=2I$

La matriz pedida es $X=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$.