Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

El peso de cierto tipo de quesos producidos en una quesería sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica 60 gramos. Se pide: (2 puntos)

a) Se toma una muestra aleatoria de 36 quesos obteniéndose una media muestral de 980 gramos. Calcula un intervalo de confianza al 97 % para estimar $\mu$.
b) Determina cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para que al estimar $\mu$, con el mismo nivel de confianza, el error cometido sea, a lo sumo, de 10 gramos.

Se llama $X$ al peso, en gramos, de un queso. Según el enunciado

$X\sim N(\mu,\ 60)$

$\textbf{a) Se toma una muestra aleatoria de 36 quesos obteniéndose una media muestral de 980 gramos. Calcula un intervalo de confianza al 97 \% para estimar } \boldsymbol{\mu}\textbf{.}$

Como la población es normal y se conoce la desviación típica, el intervalo de confianza para la media es

$\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Se busca en la tabla de la $N(0,1)$ el valor crítico correspondiente al 97 % de confianza:

$1-\alpha=0{,}97 \Rightarrow \alpha=0{,}03 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}015$

$P(Z\leq z_{\alpha/2})=1-0{,}015=0{,}985 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$



Se calcula el error máximo admisible con $n=36$ y $\sigma=60$:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=2{,}17\cdot\dfrac{60}{6}=21{,}7$

$\left(980-21{,}7,\ 980+21{,}7\right)=\left(958{,}3,\ 1001{,}7\right)$

El intervalo de confianza al 97 % para el peso medio de los quesos es $(958{,}3;\ 1001{,}7)$ gramos.

$\textbf{b) Determina cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para que al estimar } \boldsymbol{\mu}\textbf{, con el mismo nivel de confianza, el error cometido sea, a lo sumo, de 10 gramos.}$

Se impone que el error no supere los 10 gramos y se despeja el tamaño de la muestra. El valor crítico es el mismo del apartado anterior, porque el nivel de confianza no cambia.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq 10 \Rightarrow 2{,}17\cdot\dfrac{60}{\sqrt{n}}\leq 10$

$\sqrt{n}\geq\dfrac{2{,}17\cdot 60}{10}=13{,}02$

$n\geq 13{,}02^{2}=169{,}5204$

Como el tamaño de la muestra es un número natural, se toma el primer entero que cumple la desigualdad.

El tamaño mínimo de la muestra es de 170 quesos.