Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2026

Dada la función $f(x)=\dfrac{x+a}{(x-1)^{2}}$, siendo a un número real, se pide:

a) Halla el valor de a para que la gráfica de f pase por el punto $(0,2)$. Para dicho valor de a, calcula el dominio de f, las asíntotas y los puntos de corte de dicha gráfica con los ejes coordenados. (0,75 puntos)
b) Para $a=1$: calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, así como los extremos relativos. (1,25 puntos)
c) Para $a=1$: calcula la integral definida $\displaystyle\int_{2}^{3} f(x)\,(x-1)^{3}\,dx$. Interpreta geométricamente el resultado obtenido. (1 punto)

$\textbf{a) Halla el valor de a para que la gráfica de f pase por el punto } \boldsymbol{(0,2)}\textbf{. Para dicho valor de a, calcula el dominio de f, las asíntotas y los puntos de corte de dicha gráfica con los ejes coordenados. (0,75 puntos)}$

Que la gráfica pase por el punto $(0,2)$ significa que $f(0)=2$.

$f(0)=\dfrac{0+a}{(0-1)^{2}}=a=2 \Rightarrow a=2$

La función queda $f(x)=\dfrac{x+2}{(x-1)^{2}}$. Al ser un cociente de polinomios, su dominio son todos los reales salvo los que anulan el denominador:

$(x-1)^{2}=0 \Rightarrow x=1 \Rightarrow \text{Dom } f=\mathbb{R}-\{1\}$

En $x=1$ el numerador vale $3\neq 0$ y el denominador se anula, luego hay asíntota vertical:

$\lim_{x\to 1}\dfrac{x+2}{(x-1)^{2}}=\dfrac{3}{0^{+}}=+\infty$

La recta $x=1$ es asíntota vertical. Como el grado del denominador supera al del numerador, el límite en el infinito es cero:

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x+2}{(x-1)^{2}}=0$

La recta $y=0$ es asíntota horizontal. Al existir asíntota horizontal no hay asíntota oblicua.

Puntos de corte con los ejes:

$x=0 \Rightarrow f(0)=2 \Rightarrow (0,2)$

$f(x)=0 \Rightarrow x+2=0 \Rightarrow x=-2 \Rightarrow (-2,0)$

Para $a=2$ el dominio es $\mathbb{R}-\{1\}$, la asíntota vertical es $x=1$, la horizontal es $y=0$ y la gráfica corta a los ejes en $(0,2)$ y $(-2,0)$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a=1}\textbf{: calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, así como los extremos relativos. (1,25 puntos)}$

Ahora $f(x)=\dfrac{x+1}{(x-1)^{2}}$. Se deriva aplicando la regla del cociente:

$f'(x)=\dfrac{(x-1)^{2}-(x+1)\cdot 2(x-1)}{(x-1)^{4}}$

Se saca factor común $(x-1)$ en el numerador y se simplifica:

$f'(x)=\dfrac{(x-1)-2(x+1)}{(x-1)^{3}}=\dfrac{-x-3}{(x-1)^{3}}$

$f'(x)=0 \Rightarrow -x-3=0 \Rightarrow x=-3$

Se estudia el signo de la derivada en los tramos que determinan el punto crítico $x=-3$ y el punto $x=1$, que no pertenece al dominio:

$f'(-4)=\dfrac{1}{-125}<0;\quad f'(0)=\dfrac{-3}{-1}=3>0;\quad f'(3)=\dfrac{-6}{8}<0$



La función decrece en $(-\infty,-3)$, crece en $(-3,1)$ y decrece en $(1,+\infty)$.

En $x=-3$ la función pasa de decrecer a crecer, luego presenta un mínimo relativo:

$f(-3)=\dfrac{-3+1}{(-3-1)^{2}}=\dfrac{-2}{16}=-\dfrac{1}{8}$

En $x=1$ no hay extremo, porque la función no está definida ahí. El único extremo relativo es el mínimo $\left(-3,-\dfrac{1}{8}\right)$.

$\textbf{c) Para } \boldsymbol{a=1}\textbf{: calcula la integral definida } \boldsymbol{\int_{2}^{3} f(x)\,(x-1)^{3}\,dx}\textbf{. Interpreta geométricamente el resultado obtenido. (1 punto)}$

Antes de integrar conviene simplificar el integrando, porque el factor $(x-1)^{2}$ del denominador se cancela:

$f(x)(x-1)^{3}=\dfrac{x+1}{(x-1)^{2}}\cdot (x-1)^{3}=(x+1)(x-1)=x^{2}-1$

$\int_{2}^{3}\left(x^{2}-1\right)dx=\left[\dfrac{x^{3}}{3}-x\right]_{2}^{3}$

$=\left(\dfrac{27}{3}-3\right)-\left(\dfrac{8}{3}-2\right)=6-\dfrac{2}{3}$

$=\dfrac{18-2}{3}=\dfrac{16}{3}$

En el intervalo $[2,3]$ el integrando $x^{2}-1$ es positivo, así que la integral no solo es un número: mide el área del recinto que la curva $y=x^{2}-1$ encierra con el eje de abscisas entre las rectas $x=2$ y $x=3$.



La integral vale $\dfrac{16}{3}$ y representa el área, en unidades de área, de la región limitada por la parábola $y=x^{2}-1$, el eje X y las rectas $x=2$ y $x=3$.