Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2026

Una empresa tecnológica de nueva creación estima que su beneficio (en cientos de euros) durante los 10 primeros meses, desde su apertura, vendrá dado por la función

$f(x)=x^{3}-15x^{2}+48x+120, \qquad x\in[0,10]$

donde x representa el número de meses transcurridos. Se pide:

a) Calcula el beneficio de la empresa a los 3 meses de su apertura. (0,5 puntos)
b) Calcula los extremos relativos de f. En este período de 10 meses, es decir en el intervalo $[0,10]$, calcula cuál será el beneficio máximo y cuál será el mínimo; determina cuándo se alcanzarán. (1,25 puntos)
c) Considera la función $g(x)=f'(x)$: calcula el área limitada por la gráfica de g, el eje X, la recta $x=0$ y la recta $x=2$. (1,25 puntos)

$\textbf{a) Calcula el beneficio de la empresa a los 3 meses de su apertura. (0,5 puntos)}$

Basta sustituir $x=3$ en la función beneficio.

$f(3)=3^{3}-15\cdot 3^{2}+48\cdot 3+120$

$f(3)=27-135+144+120=156$

A los tres meses de su apertura el beneficio de la empresa es de 156 cientos de euros, es decir, 15 600 euros.

$\textbf{b) Calcula los extremos relativos de f. En este período de 10 meses, es decir en el intervalo } \boldsymbol{[0,10]}\textbf{, calcula cuál será el beneficio máximo y cuál será el mínimo; determina cuándo se alcanzarán. (1,25 puntos)}$

Se deriva la función y se iguala a cero para localizar los puntos críticos.

$f'(x)=3x^{2}-30x+48=3(x^{2}-10x+16)$

$f'(x)=0 \Rightarrow x=\dfrac{10\pm\sqrt{100-64}}{2}=\dfrac{10\pm 6}{2} \Rightarrow \begin{cases} x=2 \\ x=8 \end{cases}$

Los dos pertenecen al intervalo $[0,10]$. Se estudia el signo de la derivada en los tramos que determinan:

$f'(1)=3-30+48=21>0;\quad f'(5)=75-150+48=-27<0;\quad f'(9)=243-270+48=21>0$



La función crece en $(0,2)$, decrece en $(2,8)$ y vuelve a crecer en $(8,10)$, de modo que hay un máximo relativo en $x=2$ y un mínimo relativo en $x=8$.

$f(2)=8-60+96+120=164;\qquad f(8)=512-960+384+120=56$

Los extremos relativos son el máximo $(2,164)$ y el mínimo $(8,56)$.

Como la función es continua en el intervalo cerrado $[0,10]$, los extremos absolutos están entre los relativos y los valores de los bordes, así que hay que evaluar también estos últimos:

$f(0)=120;\qquad f(10)=1000-1500+480+120=100$

Comparando los cuatro valores, el mayor es $164$ y el menor $56$. El beneficio máximo del periodo es de 164 cientos de euros —16 400 euros— y se alcanza a los 2 meses de la apertura; el mínimo es de 56 cientos de euros —5600 euros— y se alcanza a los 8 meses.

$\textbf{c) Considera la función } \boldsymbol{g(x)=f'(x)}\textbf{: calcula el área limitada por la gráfica de g, el eje X, la recta } \boldsymbol{x=0}\textbf{ y la recta } \boldsymbol{x=2}\textbf{. (1,25 puntos)}$

La función que hay que integrar es la derivada calculada en el apartado anterior:

$g(x)=f'(x)=3x^{2}-30x+48$

En el intervalo $[0,2]$ la función $g$ no cambia de signo —solo se anula en el extremo $x=2$— y es positiva, como muestra $g(1)=21>0$. El recinto queda, por tanto, por encima del eje de abscisas y el área coincide con la integral definida.



Aplicando la regla de Barrow:

$\mathcal{A}=\int_{0}^{2}\left(3x^{2}-30x+48\right)dx=\left[x^{3}-15x^{2}+48x\right]_{0}^{2}$

$\mathcal{A}=\left(8-60+96\right)-0=44$

El área limitada por la gráfica de $g$, el eje X y las rectas $x=0$ y $x=2$ es de 44 unidades de área.