Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ a & b \end{pmatrix}$, siendo a y b números reales, se pide: (2 puntos)

a) Calcula los valores de a y b para que se verifique la igualdad $A\cdot B = B\cdot A$.
b) Calcula una matriz X que cumpla la igualdad $X\cdot A^{4}=I$, donde I representa la matriz identidad de orden 2.

$\textbf{a) Calcula los valores de a y b para que se verifique la igualdad } \boldsymbol{A\cdot B = B\cdot A}\textbf{.}$

Se calculan por separado los dos productos y después se igualan término a término.

$A\cdot B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ a & b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4+2a & 5+2b \\ a & b \end{pmatrix}$

$B\cdot A=\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ a & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & 13 \\ a & 2a+b \end{pmatrix}$

Dos matrices son iguales si lo son todos sus elementos:

$\begin{cases} 4+2a=4 \\ 5+2b=13 \\ a=a \\ b=2a+b \end{cases}$

De la primera ecuación $2a=0 \Rightarrow a=0$, y de la segunda $2b=8 \Rightarrow b=4$. La cuarta se reduce a $2a=0$, que es la misma condición, de modo que el sistema es compatible.

Los valores pedidos son $a=0$ y $b=4$.

$\textbf{b) Calcula una matriz X que cumpla la igualdad } \boldsymbol{X\cdot A^{4}=I}\textbf{, donde I representa la matriz identidad de orden 2.}$

La igualdad dice justamente que $X$ es la matriz inversa de $A^{4}$, así que primero se calcula esa potencia. Se observa la ley de formación elevando la matriz paso a paso:

$A^{2}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{4}=A^{2}\cdot A^{2}=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Su determinante vale $1\neq 0$, luego la inversa existe. Al ser de orden 2 basta con intercambiar los elementos de la diagonal principal y cambiar de signo los de la secundaria:

$X=\left(A^{4}\right)^{-1}=\dfrac{1}{1}\begin{pmatrix} 1 & -8 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado:

$X\cdot A^{4}=\begin{pmatrix} 1 & -8 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I$

La matriz buscada es $X=\begin{pmatrix} 1 & -8 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.