Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa fabrica dos tipos de herramientas, A y B. Para su elaboración utiliza madera y acero. Para fabricar una herramienta A se necesitan 300 gramos de madera y 100 gramos de acero; en el caso de B, las cantidades requeridas son 100 y 200 gramos respectivamente. Dispone diariamente de un máximo de 3 kilogramos de madera y 2 kilogramos de acero. Estas herramientas le proporcionan un beneficio de 20 euros por unidad de A y de 15 euros por cada una de B. Además, se deben fabricar diariamente al menos 2 herramientas de tipo A y al menos 3 de tipo B. Se pide:

a) Plantea el problema de programación lineal para maximizar el beneficio de la empresa. (0,5 puntos)
b) Representa la región factible S. (0,5 puntos)
c) Calcula las coordenadas de los vértices de dicha región S. (0,5 puntos)
d) Calcula el número de herramientas de cada tipo que se deben preparar para que el beneficio sea máximo. (0,5 puntos)

$\textbf{a) Plantea el problema de programación lineal para maximizar el beneficio de la empresa. (0,5 puntos)}$

Se llama $x$ al número de herramientas de tipo A e $y$ al número de herramientas de tipo B que se fabrican al día. Se ordenan en una tabla los gramos de cada material y el beneficio.

$$	$\text{Madera (g)}$	$\text{Acero (g)}$	$\text{Beneficio (euros)}$
Herramientas A $(x)$	$300x$	$100x$	$20x$
Herramientas B $(y)$	$100y$	$200y$	$15y$
Disponible	$3000$	$2000$	$$

La función objetivo, que hay que maximizar, es el beneficio diario:

$B(x,y)=20x+15y$

Las restricciones salen de los dos materiales y de los mínimos de producción. Los kilogramos se pasan a gramos para que todo vaya en la misma unidad:

$300x+100y\leq 3000 \Rightarrow 3x+y\leq 30$

$100x+200y\leq 2000 \Rightarrow x+2y\leq 20$

$x\geq 2;\qquad y\geq 3$

El problema queda planteado así:

$\text{Maximizar } B(x,y)=20x+15y \text{ sujeto a } \begin{cases} 3x+y\leq 30 \\ x+2y\leq 20 \\ x\geq 2 \\ y\geq 3 \end{cases}$

$\textbf{b) Representa la región factible S. (0,5 puntos)}$

Se dibujan las rectas frontera de cada restricción y se toma el semiplano que la cumple. Basta con dos puntos de cada una:

$3x+y=30$	$x+2y=20$
$(10,0)$	$(20,0)$
$(0,30)$	$(0,10)$

El origen cumple las dos desigualdades de material, así que los semiplanos válidos son los que lo contienen; las condiciones $x\geq 2$ e $y\geq 3$ recortan además la parte de abajo y la de la izquierda. La región factible es la zona coloreada en azul.



$\textbf{c) Calcula las coordenadas de los vértices de dicha región S. (0,5 puntos)}$

Cada vértice es el corte de dos de las rectas frontera; se resuelve el sistema correspondiente.

$\begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases} \Rightarrow A(2,3)$

$\begin{cases} y=3 \\ 3x+y=30 \end{cases} \Rightarrow 3x+3=30 \Rightarrow x=9 \Rightarrow B(9,3)$

$\begin{cases} 3x+y=30 \\ x+2y=20 \end{cases}$

Se multiplica la primera ecuación por $-2$ y se suman:

$-6x-2y=-60$

$-5x=-40 \Rightarrow x=8 \Rightarrow y=30-24=6 \Rightarrow C(8,6)$

$\begin{cases} x=2 \\ x+2y=20 \end{cases} \Rightarrow 2y=18 \Rightarrow y=9 \Rightarrow D(2,9)$

Los vértices de la región factible son $A(2,3)$, $B(9,3)$, $C(8,6)$ y $D(2,9)$.

$\textbf{d) Calcula el número de herramientas de cada tipo que se deben preparar para que el beneficio sea máximo. (0,5 puntos)}$

La región es un recinto acotado y la función objetivo es lineal, de modo que el máximo se alcanza necesariamente en uno de sus vértices. Se valora el beneficio en los cuatro.

$B(2,3)=20\cdot 2+15\cdot 3=85$

$B(9,3)=20\cdot 9+15\cdot 3=225$

$B(8,6)=20\cdot 8+15\cdot 6=250$

$B(2,9)=20\cdot 2+15\cdot 9=175$

El beneficio máximo se alcanza en el vértice $C(8,6)$. La empresa debe fabricar 8 herramientas de tipo A y 6 de tipo B cada día, con lo que obtiene un beneficio diario de 250 euros.