Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

Una fábrica de café envasa su producto en paquetes cuyo peso sigue una distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica $\sigma$. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 paquetes, cuyo peso medio ha sido 500 gramos, y se ha calculado el siguiente intervalo de confianza al 91 % para estimar $\mu$: $(496{,}6,\ 503{,}4)$. Se pide: (2 puntos)

a) Calcula el valor de la desviación típica $\sigma$. (1,75 puntos)
b) Con la misma muestra y la misma $\sigma$: si ahora se pretende que el error cometido en la estimación sea a lo sumo de 2,94 gramos, razona si el nivel de confianza ahora sería mayor o menor que 91 %. (0,25 puntos)

Se llama $X$ al peso, en gramos, de un paquete de café. Según el enunciado

$X\sim N(\mu,\sigma)$

y de una muestra de $n=100$ paquetes se ha obtenido la media muestral $\overline{x}=500$ gramos.

$\textbf{a) Calcula el valor de la desviación típica } \boldsymbol{\sigma}\textbf{. (1,75 puntos)}$

El intervalo de confianza para la media de una población normal con desviación típica conocida es

$\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

de modo que el error máximo admisible es la semiamplitud del intervalo dado:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{503{,}4-496{,}6}{2}=\dfrac{6{,}8}{2}=3{,}4$

Para el nivel de confianza del 91 % se busca en la tabla la abscisa que deja a su izquierda toda la probabilidad salvo media cola:

$1-\alpha=0{,}91 \Rightarrow \alpha=0{,}09 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}045$

$P(Z\leq z_{\alpha/2})=1-0{,}045=0{,}955 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}70$



Se despeja ahora la desviación típica de la expresión del error:

$3{,}4=1{,}70\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{100}} \Rightarrow 3{,}4=1{,}70\cdot\dfrac{\sigma}{10}$

$\sigma=\dfrac{3{,}4\cdot 10}{1{,}70}=20$

La desviación típica del peso de los paquetes es de 20 gramos.

$\textbf{b) Con la misma muestra y la misma } \boldsymbol{\sigma}\textbf{: si ahora se pretende que el error cometido en la estimación sea a lo sumo de 2,94 gramos, razona si el nivel de confianza ahora sería mayor o menor que 91 \%. (0,25 puntos)}$

Manteniendo $n$ y $\sigma$, el error y la abscisa $z_{\alpha/2}$ son directamente proporcionales, así que exigir un error menor obliga a un $z_{\alpha/2}$ menor.

$z_{\alpha/2}=\dfrac{E\sqrt{n}}{\sigma}=\dfrac{2{,}94\cdot 10}{20}=1{,}47$

Un valor crítico menor recorta la franja central de la campana y, por tanto, el área que encierra:

$1-\alpha=2\,P(Z\leq 1{,}47)-1=2\cdot 0{,}9292-1=0{,}8584$



El nivel de confianza sería menor que el 91 %: baja hasta el 85,84 %. Es el equilibrio habitual de la estimación por intervalos: con la misma muestra no se puede ganar precisión sin perder confianza.