Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

En un importante evento deportivo, se sabe que el 1 % de los participantes consume algún tipo de sustancia prohibida. Para detectar si este consumo ha tenido lugar o no, se puede hacer una determinada prueba. Dicha prueba detecta falsos positivos en un 2 %, y falsos negativos, en un 6 %. El día del evento, se elige un deportista al azar y se le hace la prueba, se pide: (1 punto)

a) Calcula la probabilidad de que haya consumido algún tipo de sustancia prohibida y la prueba haya dado positiva.
b) Si el deportista ha dado positivo en la prueba, calcula la probabilidad de que haya consumido algún tipo de sustancia prohibida.

Se nombran los sucesos que intervienen en el experimento:

$C \equiv$ el deportista ha consumido alguna sustancia prohibida,

$P \equiv$ la prueba da positiva.

Del enunciado se leen la probabilidad inicial y las dos condicionadas. Un falso negativo es dar negativo habiendo consumido, y un falso positivo es dar positivo sin haber consumido:

$P(C)=0{,}01 \Rightarrow P(\overline{C})=0{,}99$

$P(\overline{P}/C)=0{,}06 \Rightarrow P(P/C)=1-0{,}06=0{,}94$

$P(P/\overline{C})=0{,}02 \Rightarrow P(\overline{P}/\overline{C})=0{,}98$

Con estos datos se construye el diagrama de árbol del experimento.



$\textbf{a) Calcula la probabilidad de que haya consumido algún tipo de sustancia prohibida y la prueba haya dado positiva.}$

Se pide la probabilidad de la intersección, que es el producto de las dos probabilidades de la rama superior del árbol.

$P(C\cap P)=P(C)\cdot P(P/C)$

$P(C\cap P)=0{,}01\cdot 0{,}94=0{,}0094$

La probabilidad de que el deportista haya consumido alguna sustancia prohibida y la prueba dé positiva es $0{,}0094$, es decir, un $0{,}94\%$.

$\textbf{b) Si el deportista ha dado positivo en la prueba, calcula la probabilidad de que haya consumido algún tipo de sustancia prohibida.}$

Es una probabilidad a posteriori, así que se aplica el teorema de Bayes. En el denominador va $P(P)$, que se obtiene por el teorema de la probabilidad total sumando las dos ramas que terminan en positivo.

$P(P)=P(C)\cdot P(P/C)+P(\overline{C})\cdot P(P/\overline{C})$

$P(P)=0{,}01\cdot 0{,}94+0{,}99\cdot 0{,}02=0{,}0094+0{,}0198=0{,}0292$

$P(C/P)=\dfrac{P(C)\cdot P(P/C)}{P(P)}=\dfrac{0{,}0094}{0{,}0292}$

$P(C/P)=\dfrac{47}{146}\approx 0{,}3219$

Sabiendo que la prueba ha dado positiva, la probabilidad de que el deportista haya consumido alguna sustancia prohibida es $0{,}3219$, esto es, poco más de un 32 %: la prueba deja aún tres de cada cuatro positivos sin confirmar, porque los consumidores son muy pocos frente al total de participantes.