Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Dadas las rectas $r$ y $s$ [2 puntos]

$r \equiv \begin{cases} x+y-z=1, \\ 4x-2y+2z=10, \end{cases} \qquad s \equiv \dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-1}{3},$

y el plano $\pi \equiv x+y-z+6=0$, halle la posición relativa entre:

a) las rectas $r$ y $s$;

b) el plano $\pi$ y la recta $s$.

$\textbf{a) Halle la posición relativa entre las rectas } \boldsymbol{r\equiv\begin{cases} x+y-z=1 \\ 4x-2y+2z=10 \end{cases}}\textbf{ y } \boldsymbol{s\equiv\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-1}{3}}$

Se pone cada recta en la forma más cómoda: de $s$ se leen directamente punto y director, y de $r$ el director sale del producto vectorial de los dos normales.

$\vec v_{r}=(1,1,-1)\times(4,-2,2)=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & -1 \\ 4 & -2 & 2 \end{vmatrix}=(2-2,\ -4-2,\ -2-4)=(0,-6,-6)$

Se simplifica dividiendo entre $-6$:

$\vec v_{r}=(0,1,1)$

$s:\ B(-3,-2,1),\qquad \vec v_{s}=(1,2,3)$

Los dos directores no son proporcionales —la primera componente de uno es 0 y la del otro no—, de modo que las rectas no son paralelas ni coincidentes: o se cortan o se cruzan. Lo decide el producto mixto, que es nulo exactamente cuando los tres vectores son coplanarios.

Se necesita un punto de $r$. Con $z=0$, y simplificando la segunda ecuación a $2x-y+z=5$:

$\begin{cases} x+y=1 \\ 2x-y=5 \end{cases} \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2,\ y=-1$

$A(2,-1,0)\in r,\qquad \overrightarrow{AB}=(-5,-1,1)$

$\left[\overrightarrow{AB},\vec v_{r},\vec v_{s}\right]=\begin{vmatrix} -5 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}=-5(3-2)+1(0-1)+1(0-1)=-5-1-1=-7$

El producto mixto vale $-7\neq 0$, luego los vectores no son coplanarios: las rectas $r$ y $s$ se cruzan.



$\textbf{b) Halle la posición relativa entre el plano } \boldsymbol{\pi\equiv x+y-z+6=0}\textbf{ y la recta } \boldsymbol{s}$

Lo que decide la posición relativa es si el director de la recta es perpendicular al normal del plano.

$\vec n_{\pi}=(1,1,-1),\qquad \vec v_{s}=(1,2,3)$

$\vec n_{\pi}\cdot\vec v_{s}=1+2-3=0$

Se anula, de modo que la recta es paralela al plano o está contenida en él. Para distinguir los dos casos basta comprobar si un punto de la recta pertenece al plano:

$B(-3,-2,1):\quad -3-2-1+6=0$

El punto sí pertenece, luego la recta $s$ está contenida en el plano $\pi$.