Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Halle la ecuación del plano que contiene a la recta [2 puntos]

$r \equiv \begin{cases} x+3y-4z+9=0, \\ -x-2y+z+1=0, \end{cases}$

y es perpendicular al plano $\pi \equiv x+3y+z+1=0$.

$\textbf{Halle la ecuación del plano que contiene a la recta } \boldsymbol{r\equiv\begin{cases} x+3y-4z+9=0 \\ -x-2y+z+1=0 \end{cases}}\textbf{ y es perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi\equiv x+3y+z+1=0}\textbf{. [2 puntos]}$

El plano buscado, que se llamará $\sigma$, queda determinado por un punto de la recta y por su vector normal, que ha de cumplir dos condiciones: ser perpendicular a la dirección de $r$ —porque la recta está dentro del plano— y perpendicular al normal de $\pi$ —porque los dos planos lo son—.

i) Se obtiene un vector director de $r$ como producto vectorial de los dos normales:

$\vec v_{r}=(1,3,-4)\times(-1,-2,1)=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 3 & -4 \\ -1 & -2 & 1 \end{vmatrix}=(3-8,\ 4-1,\ -2+3)=(-5,3,1)$

ii) Se obtiene un punto de $r$ dando un valor cómodo a una incógnita. Con $z=0$:

$\begin{cases} x+3y=-9 \\ -x-2y=-1 \end{cases}$

Sumando las dos, $y=-10$, y de la primera, $x=-9+30=21$.

$A(21,-10,0)\in r$

iii) Se obtiene el normal de $\sigma$ como producto vectorial de $\vec v_{r}$ y $\vec n_{\pi}=(1,3,1)$:

$\vec n_{\sigma}=(-5,3,1)\times(1,3,1)=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -5 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix}=(3-3,\ 1+5,\ -15-3)=(0,6,-18)$

Se simplifica dividiendo entre 6:

$\vec n_{\sigma}=(0,1,-3)$



iv) Se escribe la ecuación e se impone que pase por $A$:

$\sigma:\ 0x+y-3z+D=0 \Rightarrow -10-0+D=0 \Rightarrow D=10$

$\sigma:\ y-3z+10=0$

Se comprueban las dos condiciones. La perpendicularidad con $\pi$: $(0,1,-3)\cdot(1,3,1)=0+3-3=0$. Y que contiene a $r$: además de pasar por $A$, su normal es perpendicular al director, $(0,1,-3)\cdot(-5,3,1)=0+3-3=0$.