Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Calcule el área del recinto limitado por las funciones $f$ y $g$, siendo estas [2 puntos]

$f(x)=\frac{x^{2}}{9}+\frac{x}{3}-2, \qquad g(x)=(x-2)^{2}-1,$

y las rectas $x=3$ y $x=5$.

$\textbf{Calcule el área del recinto limitado por las funciones } \boldsymbol{f(x)=\frac{x^{2}}{9}+\frac{x}{3}-2}\textbf{ y } \boldsymbol{g(x)=(x-2)^{2}-1}\textbf{ y las rectas } \boldsymbol{x=3}\textbf{ y } \boldsymbol{x=5}\textbf{. [2 puntos]}$

Los límites de integración vienen dados, pero antes hay que averiguar si las dos curvas se cortan dentro del intervalo, porque en tal caso habría que partir la integral.

$g(x)=(x-2)^{2}-1=x^{2}-4x+3$

$\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{x}{3}-2=x^{2}-4x+3$

Multiplicando por 9 y agrupando:

$x^{2}+3x-18=9x^{2}-36x+27 \Rightarrow 8x^{2}-39x+45=0$

$x=\dfrac{39\pm\sqrt{1521-1440}}{16}=\dfrac{39\pm 9}{16} \Rightarrow x=3,\ x=\dfrac{15}{8}$

Los cortes son $x=3$ —justamente el extremo izquierdo— y $x=\dfrac{15}{8}=1{,}875$, que queda fuera del intervalo. Dentro de $(3,5)$ las curvas no se cruzan, así que basta un cálculo para saber cuál va por encima; en $x=4$:

$f(4)=\dfrac{16}{9}+\dfrac{4}{3}-2=\dfrac{10}{9},\qquad g(4)=16-16+3=3$

de modo que $g$ es la de arriba en todo el intervalo.



$A=\int_{3}^{5}\left[g(x)-f(x)\right]dx=\int_{3}^{5}\left(x^{2}-4x+3-\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{x}{3}+2\right)dx$

$=\int_{3}^{5}\left(\dfrac{8x^{2}}{9}-\dfrac{13x}{3}+5\right)dx=\left[\dfrac{8x^{3}}{27}-\dfrac{13x^{2}}{6}+5x\right]_{3}^{5}$

Se evalúa en los dos extremos:

$x=5:\quad \dfrac{1000}{27}-\dfrac{325}{6}+25$

$x=3:\quad \dfrac{216}{27}-\dfrac{117}{6}+15=8-\dfrac{39}{2}+15=\dfrac{7}{2}$

Restando y reduciendo a denominador común 54:

$A=\dfrac{2000}{54}-\dfrac{2925}{54}+\dfrac{1350}{54}-\dfrac{189}{54}=\dfrac{236}{54}=\dfrac{118}{27}$

El área del recinto es $\dfrac{118}{27}\approx 4{,}3704$ unidades cuadradas.