Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2020

Determine el dominio y las asíntotas de la función $f(x)=\dfrac{x+3}{(x+2)^{2}}$. Calcule la recta tangente en su punto de inflexión. [2 puntos]

$\textbf{Determine el dominio y las asíntotas de la función } \boldsymbol{f(x)=\dfrac{x+3}{(x+2)^{2}}}\textbf{. Calcule la recta tangente en su punto de inflexión. [2 puntos]}$

Es una función racional, definida donde el denominador no se anule:

$(x+2)^{2}=0 \Rightarrow x=-2 \Rightarrow \text{Dom}\,f=\mathbb{R}-\{-2\}$

$\textbf{Asíntotas verticales.}$

La única candidata es $x=-2$, donde el numerador vale $1\neq 0$. Como el denominador es un cuadrado, tiende a cero por valores positivos por los dos lados:

$\lim_{x\to -2}\dfrac{x+3}{(x+2)^{2}}=\dfrac{1}{0^{+}}=+\infty$

$x=-2$ es asíntota vertical, y la función se va a $+\infty$ por la derecha y por la izquierda.

$\textbf{Asíntotas horizontales y oblicuas.}$

El grado del numerador, 1, es menor que el del denominador, 2:

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x+3}{x^{2}+4x+4}=0 \Rightarrow y=0 \ \text{es asíntota horizontal}$

Al haber asíntota horizontal en las dos ramas, no hay asíntota oblicua.

$\textbf{Punto de inflexión y recta tangente.}$

Se deriva escribiendo la función como producto de potencias, que evita la regla del cociente:

$f(x)=(x+3)(x+2)^{-2}$

$f'(x)=(x+2)^{-2}-2(x+3)(x+2)^{-3}=(x+2)^{-3}\left[(x+2)-2(x+3)\right]=\dfrac{-x-4}{(x+2)^{3}}$

$f''(x)=-(x+2)^{-3}+3(x+4)(x+2)^{-4}=(x+2)^{-4}\left[-(x+2)+3(x+4)\right]=\dfrac{2x+10}{(x+2)^{4}}$

El denominador es una potencia par, siempre positiva, así que el signo de $f''(x)$ es el del numerador:

$2x+10=0 \Rightarrow x=-5$

A la izquierda de $-5$ la segunda derivada es negativa y a la derecha positiva, luego hay cambio de curvatura y $x=-5$ es abscisa de un punto de inflexión.

$f(-5)=\dfrac{-5+3}{(-5+2)^{2}}=\dfrac{-2}{9}$

$f'(-5)=\dfrac{5-4}{(-3)^{3}}=\dfrac{1}{-27}=-\dfrac{1}{27}$



Con el punto $\left(-5,-\dfrac{2}{9}\right)$ y la pendiente $-\dfrac{1}{27}$:

$y+\dfrac{2}{9}=-\dfrac{1}{27}(x+5)$

$y=-\dfrac{x}{27}-\dfrac{5}{27}-\dfrac{6}{27}=-\dfrac{x+11}{27}$

La recta tangente en el punto de inflexión es $y=-\dfrac{x+11}{27}$.