Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

Calcule los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la función sea derivable: [2 puntos]

$f(x)=\begin{cases} a(x^{2}-9)+\dfrac{bx}{3}-b, & x<3, \\[2pt] \ln\bigl(b(x-2)\bigr), & x \geq 3. \end{cases}$

$\textbf{Calcule los valores de los parámetros reales } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para que la función } \boldsymbol{f(x)=\begin{cases} a(x^{2}-9)+\frac{bx}{3}-b, & x<3 \\ \ln\left(b(x-2)\right), & x\geq 3 \end{cases}}\textbf{ sea derivable. [2 puntos]}$

Una función es derivable en un punto solo si antes es continua en él, así que se imponen las dos condiciones en $x=3$, que es donde cambia la definición. En el resto de puntos cada rama es derivable por sí sola: la primera es un polinomio y la segunda un logaritmo, que exige además $b(x-2)>0$ para $x\geq 3$, es decir, $b>0$.

$\textbf{Continuidad en } \boldsymbol{x=3}\textbf{.}$

$\lim_{x\to 3^{-}}f(x)=a\left(9-9\right)+\dfrac{3b}{3}-b=0+b-b=0$

$f(3)=\ln\left(b(3-2)\right)=\ln b$

Igualando los dos valores:

$\ln b=0 \Rightarrow b=1$

que además cumple $b>0$.

$\textbf{Derivabilidad en } \boldsymbol{x=3}\textbf{.}$

Se derivan las dos ramas por separado, ya con $b=1$:

$f'(x)=\begin{cases} 2ax+\dfrac{1}{3}, & x<3 \\ \dfrac{1}{x-2}, & x>3 \end{cases}$

donde la derivada de la segunda rama es $\dfrac{b}{b(x-2)}=\dfrac{1}{x-2}$: la constante se simplifica.

$f'(3^{-})=6a+\dfrac{1}{3},\qquad f'(3^{+})=\dfrac{1}{3-2}=1$

Igualando las derivadas laterales:

$6a+\dfrac{1}{3}=1 \Rightarrow 6a=\dfrac{2}{3} \Rightarrow a=\dfrac{1}{9}$

Los valores pedidos son $a=\dfrac{1}{9}$ y $b=1$, y con ellos

$f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}-9}{9}+\dfrac{x}{3}-1, & x<3 \\ \ln(x-2), & x\geq 3 \end{cases}$

es continua y derivable en todo su dominio, con $f(3)=0$ y $f'(3)=1$.