Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2020

Se sabe que dos poblaciones distintas $X$ e $Y$ se distribuyen según una normal de media 25. Además, $P(X \geq 27)=P(Y \geq 30)=0{,}1587$. Calcule sus respectivas varianzas. [2 puntos]

Utilice la tabla de la distribución normal tipificada.

$\textbf{Se sabe que dos poblaciones distintas } \boldsymbol{X}\textbf{ e } \boldsymbol{Y}\textbf{ se distribuyen según una normal de media 25. Además, } \boldsymbol{P(X\geq 27)=P(Y\geq 30)=0{,}1587}\textbf{. Calcule sus respectivas varianzas. [2 puntos]}$

Las dos poblaciones comparten la media pero tienen desviaciones típicas distintas, que son las incógnitas del problema:

$X\sim N(25,\sigma_{X}),\qquad Y\sim N(25,\sigma_{Y})$

Las dos probabilidades son iguales, y de ese valor sale una única abscisa tipificada. Como la tabla da probabilidades acumuladas, se pasa al suceso contrario:

$P(Z\geq z_{0})=0{,}1587 \Rightarrow P(Z\leq z_{0})=1-0{,}1587=0{,}8413$

En la tabla ese valor corresponde exactamente a

$z_{0}=1$



Que la probabilidad tipificada sea la misma significa que 27 está a una desviación típica de la media en la primera población y 30 lo está en la segunda. Se deshace la tipificación en cada caso:

$\dfrac{27-25}{\sigma_{X}}=1 \Rightarrow \sigma_{X}=2$

$\dfrac{30-25}{\sigma_{Y}}=1 \Rightarrow \sigma_{Y}=5$

La varianza es el cuadrado de la desviación típica:

$\sigma_{X}^{2}=4,\qquad \sigma_{Y}^{2}=25$

Las varianzas pedidas son $4$ y $25$: la segunda población está mucho más dispersa que la primera.