Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Determine, en función del parámetro real $a$, la posición relativa de los siguientes planos: [2 puntos]

$\begin{cases} (a-1)x+y-z=a, \\ (a+1)x+(2a+1)y+z=-a, \\ ax+ay+z=-a. \end{cases}$

$\textbf{Determine, en función del parámetro real } \boldsymbol{a}\textbf{, la posición relativa de los planos } \boldsymbol{(a-1)x+y-z=a}\textbf{, } \boldsymbol{(a+1)x+(2a+1)y+z=-a}\textbf{ y } \boldsymbol{ax+ay+z=-a}\textbf{. [2 puntos]}$

La posición relativa de tres planos es el carácter del sistema que forman sus ecuaciones, de modo que se discute comparando los rangos.

$M=\begin{pmatrix} a-1 & 1 & -1 \\ a+1 & 2a+1 & 1 \\ a & a & 1 \end{pmatrix}$

Para el determinante conviene restar la tercera fila a la segunda, lo que no lo altera y simplifica mucho la cuenta:

$|M|=\begin{vmatrix} a-1 & 1 & -1 \\ 1 & a+1 & 0 \\ a & a & 1 \end{vmatrix}$

Desarrollando por la segunda fila:

$=-1\cdot\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ a & 1 \end{vmatrix}+(a+1)\begin{vmatrix} a-1 & -1 \\ a & 1 \end{vmatrix}=-(1+a)+(a+1)(a-1+a)$

$=(a+1)\left[-1+2a-1\right]=(a+1)(2a-2)=2(a+1)(a-1)$

$|M|=0 \Rightarrow a=1 \quad\text{o}\quad a=-1$

$\textbf{Si } \boldsymbol{a\neq 1}\textbf{ y } \boldsymbol{a\neq -1}\textbf{: se cortan en un punto.}$

$\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=3=\text{número de incógnitas}$: el sistema es compatible determinado y los tres planos tienen exactamente un punto común.

$\textbf{Si } \boldsymbol{a=1}\textbf{: se cortan en una recta.}$

El sistema queda

$\begin{cases} y-z=1 \\ 2x+3y+z=-1 \\ x+y+z=-1 \end{cases}$

El menor $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}=-2\neq 0$ da $\operatorname{ran}(M)=2$. Además la tercera fila es combinación de las otras dos, $F_{3}=-\frac{1}{2}F_{1}+\frac{1}{2}F_{2}$, y la misma combinación se cumple con los términos independientes: $-\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot(-1)=-1$. Por tanto $\operatorname{ran}(M')=2$ también.

$\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=2<3$

El sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad: los tres planos se cortan en una recta. Tomando $z=\lambda$ en las dos primeras ecuaciones:

$(x,y,z)=(-2-2\lambda,\ 1+\lambda,\ \lambda),\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

$\textbf{Si } \boldsymbol{a=-1}\textbf{: se cortan en una recta.}$

El sistema queda

$\begin{cases} -2x+y-z=-1 \\ -y+z=1 \\ -x-y+z=1 \end{cases}$

El menor $\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}=2\neq 0$ da $\operatorname{ran}(M)=2$, y la tercera fila vuelve a ser combinación de las otras dos, con los términos independientes incluidos: $F_{3}=\frac{1}{2}F_{1}+\frac{3}{2}F_{2}$ y $\frac{1}{2}(-1)+\frac{3}{2}\cdot 1=1$.

$\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=2<3$

De nuevo los tres planos se cortan en una recta. De la segunda ecuación, $y=z-1$; sustituyendo en la primera, $-2x+z-1-z=-1$, es decir, $x=0$. Tomando $z=\lambda$:

$(x,y,z)=(0,\ \lambda-1,\ \lambda),\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

En resumen: los tres planos se cortan en un punto salvo para $a=1$ y $a=-1$, valores para los que se cortan en una recta.