Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el sistema de ecuaciones lineales [2 puntos]

$\begin{cases} ay+(a+1)z=a, \\ ax+z=a, \\ x+az=-a. \end{cases}$

a) Discútalo y resuélvalo según el valor del parámetro real $a$.

b) Determine la inversa de la matriz asociada al sistema para $a=2$.

$\textbf{a) Discuta y resuelva el sistema } \boldsymbol{\begin{cases} ay+(a+1)z=a \\ ax+z=a \\ x+az=-a \end{cases}}\textbf{ según el valor del parámetro real } \boldsymbol{a}\textbf{.}$

Se comparan los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada.

$M=\begin{pmatrix} 0 & a & a+1 \\ a & 0 & 1 \\ 1 & 0 & a \end{pmatrix},\qquad M'=\begin{pmatrix} 0 & a & a+1 & a \\ a & 0 & 1 & a \\ 1 & 0 & a & -a \end{pmatrix}$

La segunda columna tiene dos ceros, así que conviene desarrollar el determinante por ella:

$|M|=-a\begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix}=-a\left(a^{2}-1\right)=-a(a-1)(a+1)$

$|M|=0 \Rightarrow a=0,\ a=1 \ \text{o}\ a=-1$

$\textbf{Si } \boldsymbol{a\neq 0}\textbf{, } \boldsymbol{a\neq 1}\textbf{ y } \boldsymbol{a\neq -1}\textbf{: compatible determinado.}$

Entonces $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=3=\text{número de incógnitas}$. Se resuelve empezando por las dos últimas ecuaciones, que solo tienen $x$ y $z$:

$\begin{cases} ax+z=a \\ x+az=-a \end{cases}$

Multiplicando la segunda por $a$ y restándole la primera:

$\left(a^{2}-1\right)z=-a^{2}-a=-a(a+1) \Rightarrow z=\dfrac{-a(a+1)}{(a-1)(a+1)}=\dfrac{-a}{a-1}$

$x=-a-az=-a+\dfrac{a^{2}}{a-1}=\dfrac{-a(a-1)+a^{2}}{a-1}=\dfrac{a}{a-1}$

Y de la primera ecuación:

$ay=a-(a+1)z=a+\dfrac{a(a+1)}{a-1}=\dfrac{a(a-1)+a(a+1)}{a-1}=\dfrac{2a^{2}}{a-1} \Rightarrow y=\dfrac{2a}{a-1}$

$(x,y,z)=\left(\dfrac{a}{a-1},\ \dfrac{2a}{a-1},\ \dfrac{-a}{a-1}\right)$

$\textbf{Si } \boldsymbol{a=0}\textbf{: compatible indeterminado.}$

El sistema queda

$\begin{cases} z=0 \\ z=0 \\ x=0 \end{cases}$

La incógnita $y$ ha desaparecido de las tres ecuaciones, de modo que queda libre. Con los rangos, $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=2<3$:

$(x,y,z)=(0,\ \lambda,\ 0),\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

$\textbf{Si } \boldsymbol{a=1}\textbf{: incompatible.}$

El sistema queda

$\begin{cases} y+2z=1 \\ x+z=1 \\ x+z=-1 \end{cases}$

Las dos últimas ecuaciones tienen el mismo primer miembro y distinto segundo miembro, luego son contradictorias: $\operatorname{ran}(M)=2$ y $\operatorname{ran}(M')=3$.

$\textbf{Si } \boldsymbol{a=-1}\textbf{: compatible indeterminado.}$

El sistema queda

$\begin{cases} -y=-1 \\ -x+z=-1 \\ x-z=1 \end{cases}$

La tercera ecuación es la segunda cambiada de signo, término independiente incluido, así que no aporta nada: $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=2<3$. De la primera, $y=1$; de la segunda, $x=z+1$. Tomando $z=\lambda$:

$(x,y,z)=(1+\lambda,\ 1,\ \lambda),\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

$\textbf{b) Determine la inversa de la matriz asociada al sistema para } \boldsymbol{a=2}\textbf{.}$

$M=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix},\qquad |M|=-2\left(2^{2}-1\right)=-6\neq 0$

Se calcula por el método de la matriz adjunta, $M^{-1}=\dfrac{1}{|M|}\left(\text{Adj}\,M\right)^{T}$. Los nueve adjuntos son

$M_{11}=0,\quad M_{12}=-3,\quad M_{13}=0,\quad M_{21}=-4,\quad M_{22}=-3,\quad M_{23}=2,\quad M_{31}=2,\quad M_{32}=6,\quad M_{33}=-4$

$M^{-1}=\dfrac{1}{-6}\begin{pmatrix} 0 & -4 & 2 \\ -3 & -3 & 6 \\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -1 \\ 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$

Se comprueba el producto:

$\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -1 \\ 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$