Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Calcule el área del recinto limitado por las rectas $x=-2$, $x=2$, el eje $OX$ y la función [2 puntos]

$f(x)=\begin{cases} x^{2}, & x<0, \\ x, & x \geq 0. \end{cases}$

$\textbf{Calcule el área del recinto limitado por las rectas } \boldsymbol{x=-2}\textbf{, } \boldsymbol{x=2}\textbf{, el eje } \boldsymbol{OX}\textbf{ y la función } \boldsymbol{f(x)=\begin{cases} x^{2}, & x<0 \\ x, & x\geq 0 \end{cases}}\textbf{. [2 puntos]}$

La función está definida a trozos, así que la integral hay que partirla por el punto en que cambia de definición, que es $x=0$.

Antes conviene comprobar el signo en cada tramo, porque de él depende que el área coincida con la integral. En $[-2,0)$ la función es $x^{2}$, que es positiva; en $[0,2]$ es $x$, también positiva. El recinto queda entero por encima del eje.



$A=\int_{-2}^{0}x^{2}\,dx+\int_{0}^{2}x\,dx$

$\int_{-2}^{0}x^{2}\,dx=\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{-2}^{0}=0-\dfrac{-8}{3}=\dfrac{8}{3}$

$\int_{0}^{2}x\,dx=\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}=\dfrac{4}{2}-0=2$

$A=\dfrac{8}{3}+2=\dfrac{14}{3}$

El área del recinto es $\dfrac{14}{3}\approx 4{,}6667$ unidades cuadradas.

El segundo sumando se podía haber obtenido sin integrar: el recinto de la derecha es el triángulo rectángulo de vértices $(0,0)$, $(2,0)$ y $(2,2)$, cuya área es $\dfrac{2\cdot 2}{2}=2$.