Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

Determine los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que las funciones $f(x)=ax^{2}+b$ y $g(x)=x^{2}+x+a$ sean tangentes en el punto de abscisa $x=-1$. Para los valores obtenidos de $a$ y $b$, calcule la recta tangente a las curvas en $x=-1$. [2 puntos]

$\textbf{Determine los valores de los parámetros reales } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para que las funciones } \boldsymbol{f(x)=ax^{2}+b}\textbf{ y } \boldsymbol{g(x)=x^{2}+x+a}\textbf{ sean tangentes en el punto de abscisa } \boldsymbol{x=-1}\textbf{. Para los valores obtenidos, calcule la recta tangente a las curvas en } \boldsymbol{x=-1}\textbf{. [2 puntos]}$

Que dos curvas sean tangentes en un punto significa dos cosas: que se cortan en él y que en él tienen la misma pendiente. Cada una da una ecuación.

$f(-1)=a+b,\qquad g(-1)=1-1+a=a$

$f'(x)=2ax \Rightarrow f'(-1)=-2a$

$g'(x)=2x+1 \Rightarrow g'(-1)=-1$

De la igualdad de las derivadas sale directamente el primer parámetro:

$-2a=-1 \Rightarrow a=\dfrac{1}{2}$

Y de la igualdad de los valores:

$a+b=a \Rightarrow b=0$

Con esos valores las dos funciones son

$f(x)=\dfrac{x^{2}}{2},\qquad g(x)=x^{2}+x+\dfrac{1}{2}$

y en $x=-1$ las dos valen $\dfrac{1}{2}$ y tienen pendiente $-1$, como se comprueba sustituyendo.

La recta tangente común pasa por $\left(-1,\dfrac{1}{2}\right)$ con pendiente $-1$:

$y-\dfrac{1}{2}=-1\cdot(x+1)$

$y=-x-1+\dfrac{1}{2}=-x-\dfrac{1}{2}$

La recta tangente a las dos curvas en $x=-1$ es $y=-x-\dfrac{1}{2}$.