Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

a) Calcule el siguiente límite: [1 punto]

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{1-\operatorname{sen} x\cos x}{1+\operatorname{sen} x\cos x}\right)^{\frac{1}{\operatorname{sen} x}}$

b) Determine el valor de la constante real $a$ para que se satisfaga la siguiente igualdad: [1 punto]

$\displaystyle\lim_{x \to 4}\frac{\operatorname{tg}\left(\left(\frac{\pi}{8}+1\right)\sqrt{x}-2\right)}{x^{2}-16+ax}=\frac{1}{32}$

$\textbf{a) Calcule el siguiente límite: } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{1-\operatorname{sen} x\cos x}{1+\operatorname{sen} x\cos x}\right)^{\frac{1}{\operatorname{sen} x}}}\textbf{ [1 punto]}$

Al sustituir, la base tiende a 1 —porque $\operatorname{sen} 0=0$— y el exponente a infinito: es la indeterminación del número $e$.

$\lim u(x)^{v(x)}=e^{\lim v(x)\left[u(x)-1\right]}$

Se calcula primero la diferencia $u(x)-1$ reduciendo a común denominador:

$\dfrac{1-\operatorname{sen} x\cos x}{1+\operatorname{sen} x\cos x}-1=\dfrac{\left(1-\operatorname{sen} x\cos x\right)-\left(1+\operatorname{sen} x\cos x\right)}{1+\operatorname{sen} x\cos x}=\dfrac{-2\operatorname{sen} x\cos x}{1+\operatorname{sen} x\cos x}$

Al multiplicar por el exponente, el seno se cancela con el del denominador:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{\operatorname{sen} x}\cdot\dfrac{-2\operatorname{sen} x\cos x}{1+\operatorname{sen} x\cos x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{-2\cos x}{1+\operatorname{sen} x\cos x}=\dfrac{-2}{1+0}=-2$

$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1-\operatorname{sen} x\cos x}{1+\operatorname{sen} x\cos x}\right)^{\frac{1}{\operatorname{sen} x}}=e^{-2}\approx 0{,}1353$

$\textbf{b) Determine el valor de la constante real } \boldsymbol{a}\textbf{ para que } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{\operatorname{tg}\left(\left(\frac{\pi}{8}+1\right)\sqrt{x}-2\right)}{x^{2}-16+ax}=\frac{1}{32}}\textbf{ [1 punto]}$

Lo primero es comprobar si al sustituir aparece realmente una indeterminación, porque de eso depende todo el planteamiento. En el numerador:

$\left(\dfrac{\pi}{8}+1\right)\sqrt{4}-2=\dfrac{\pi}{4}+2-2=\dfrac{\pi}{4}$

$\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4}=1$

El numerador tiende a 1, que no es cero: no hay indeterminación. En el denominador:

$\left(x^{2}-16+ax\right)_{x=4}=16-16+4a=4a$

Si $a=0$ el denominador se anularía y el límite sería infinito, así que ha de ser $a\neq 0$ y entonces el límite se obtiene sustituyendo sin más:

$\lim_{x\to 4}\dfrac{\operatorname{tg}\left(\left(\frac{\pi}{8}+1\right)\sqrt{x}-2\right)}{x^{2}-16+ax}=\dfrac{1}{4a}$

Se impone la condición del enunciado:

$\dfrac{1}{4a}=\dfrac{1}{32} \Rightarrow 4a=32 \Rightarrow a=8$

El valor pedido es $a=8$.