Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2021

El tiempo que una persona tarda en llegar a su lugar de trabajo sigue una distribución normal de media 20 minutos. Se ha comprobado que el 84,1 % de los días llega antes de 22 minutos. Si durante el año acude a su lugar de trabajo 290 días, ¿cuántos días puede estimar que tardará menos de 18 minutos en llegar? [2 puntos]

Utilice la tabla de la distribución normal tipificada.

$\textbf{El tiempo que una persona tarda en llegar a su lugar de trabajo sigue una distribución normal de media 20 minutos. Se ha comprobado que el 84,1 \% de los días llega antes de 22 minutos. Si durante el año acude a su lugar de trabajo 290 días, ¿cuántos días puede estimar que tardará menos de 18 minutos en llegar? [2 puntos]}$

Se llama $X$ al tiempo de trayecto, en minutos. Se conoce la media pero no la desviación típica, que es lo primero que hay que averiguar:

$X\sim N(20,\sigma)$

El dato del enunciado se traduce en una probabilidad acumulada, y de ella se saca la abscisa tipificada buscando en la tabla:

$P(X<22)=0{,}841 \Rightarrow P\left(Z<\dfrac{22-20}{\sigma}\right)=0{,}841$

En la tabla, el valor 0,8413 corresponde a $z=1$, de modo que

$\dfrac{2}{\sigma}=1 \Rightarrow \sigma=2$

$X\sim N(20,2)$

Ahora se calcula la probabilidad pedida tipificando el valor 18, que queda a una desviación típica por debajo de la media:

$P(X<18)=P\left(Z<\dfrac{18-20}{2}\right)=P(Z<-1)$

Por la simetría de la campana:

$P(Z<-1)=1-P(Z<1)=1-0{,}8413=0{,}1587$



Finalmente se traduce la proporción a número de días, multiplicando por los 290 días que acude al trabajo:

$290\cdot 0{,}1587=46{,}02$

Se puede estimar que tardará menos de 18 minutos en llegar unos 46 días al año.