Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Discuta y resuelva el sistema de ecuaciones lineales [2 puntos]

$\begin{cases} ax+y+z=2 \\ 2x+ay+a^{2}z=1 \\ 2x+y+z=2 \end{cases}$

según el valor del parámetro real $a$.

$\textbf{Discuta y resuelva el sistema } \boldsymbol{\begin{cases} ax+y+z=2 \\ 2x+ay+a^{2}z=1 \\ 2x+y+z=2 \end{cases}}\textbf{ según el valor del parámetro real } \boldsymbol{a}\textbf{. [2 puntos]}$

Se comparan los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada.

$M=\begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 2 & a & a^{2} \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix},\qquad M'=\begin{pmatrix} a & 1 & 1 & 2 \\ 2 & a & a^{2} & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

La primera y la tercera fila coinciden salvo en el primer elemento, así que conviene restarlas: el determinante no cambia si a una fila se le resta otra.

$|M|=\begin{vmatrix} a-2 & 0 & 0 \\ 2 & a & a^{2} \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}=(a-2)\begin{vmatrix} a & a^{2} \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=(a-2)\left(a-a^{2}\right)$

$|M|=-a(a-1)(a-2)$

$|M|=0 \Rightarrow a=0,\ a=1 \ \text{o}\ a=2$

$\textbf{Si } \boldsymbol{a\neq 0}\textbf{, } \boldsymbol{a\neq 1}\textbf{ y } \boldsymbol{a\neq 2}\textbf{: compatible determinado.}$

Entonces $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=3=\text{número de incógnitas}$. Restando la tercera ecuación de la primera se obtiene enseguida una de las incógnitas:

$(a-2)x=0 \Rightarrow x=0$

porque $a\neq 2$. Con $x=0$ quedan dos ecuaciones:

$\begin{cases} y+z=2 \\ ay+a^{2}z=1 \end{cases}$

De la primera, $y=2-z$, y sustituyendo en la segunda:

$a(2-z)+a^{2}z=1 \Rightarrow 2a+a(a-1)z=1 \Rightarrow z=\dfrac{1-2a}{a(a-1)}$

$y=2-z=\dfrac{2a^{2}-2a-1+2a}{a(a-1)}=\dfrac{2a^{2}-1}{a(a-1)}$

$(x,y,z)=\left(0,\ \dfrac{2a^{2}-1}{a(a-1)},\ \dfrac{1-2a}{a(a-1)}\right)$

$\textbf{Si } \boldsymbol{a=0}\textbf{: incompatible.}$

El sistema queda

$\begin{cases} y+z=2 \\ 2x=1 \\ 2x+y+z=2 \end{cases}$

Sumando las dos primeras ecuaciones se obtiene $2x+y+z=3$, que contradice a la tercera. Con los rangos, $\operatorname{ran}(M)=2$ y $\operatorname{ran}(M')=3$: sistema incompatible.

$\textbf{Si } \boldsymbol{a=1}\textbf{: incompatible.}$

El sistema queda

$\begin{cases} x+y+z=2 \\ 2x+y+z=1 \\ 2x+y+z=2 \end{cases}$

La segunda y la tercera ecuación tienen el mismo primer miembro y distinto segundo miembro, de modo que son incompatibles entre sí: $\operatorname{ran}(M)=2$ y $\operatorname{ran}(M')=3$.

$\textbf{Si } \boldsymbol{a=2}\textbf{: compatible indeterminado.}$

El sistema queda

$\begin{cases} 2x+y+z=2 \\ 2x+2y+4z=1 \\ 2x+y+z=2 \end{cases}$

La primera y la tercera son la misma ecuación, así que solo hay dos distintas. El menor $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}=2\neq 0$ da $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=2<3$: compatible indeterminado con un grado de libertad.

Restando la primera de la segunda: $y+3z=-1 \Rightarrow y=-1-3z$. Sustituyendo en la primera:

$2x-1-3z+z=2 \Rightarrow 2x=3+2z \Rightarrow x=\dfrac{3}{2}+z$

Tomando $z=\lambda$:

$(x,y,z)=\left(\dfrac{3}{2}+\lambda,\ -1-3\lambda,\ \lambda\right),\qquad \lambda\in\mathbb{R}$