Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Sea la función $f(x)=\cos x$. Halle el área de la superficie encerrada por la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $x=-\frac{\pi}{4}$, la gráfica de $f$ y las rectas $x=-\frac{\pi}{4}$ y $x=\frac{\pi}{2}$. [2 puntos]

$\textbf{Sea la función } \boldsymbol{f(x)=\cos x}\textbf{. Halle el área de la superficie encerrada por la recta tangente a la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{ en el punto } \boldsymbol{x=-\frac{\pi}{4}}\textbf{, la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{ y las rectas } \boldsymbol{x=-\frac{\pi}{4}}\textbf{ y } \boldsymbol{x=\frac{\pi}{2}}\textbf{. [2 puntos]}$

Lo primero es escribir la recta tangente. La pendiente es el valor de la derivada en el punto:

$f\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$f'(x)=-\operatorname{sen} x \Rightarrow f'\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\operatorname{sen}\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$t:\ y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$

Hay que saber cuál de las dos curvas queda por encima en el intervalo. En $\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right]$ el coseno es positivo, de modo que $f''(x)=-\cos x<0$ y la gráfica es cóncava hacia abajo: la tangente queda por encima de la curva en todo el intervalo, tocándola solo en el punto de tangencia.



$A=\int_{-\pi/4}^{\pi/2}\left[\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)-\cos x\right]dx$

Se calcula la primitiva término a término, tomando $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ como una potencia:

$\int\left[\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)-\cos x\right]dx=\dfrac{\sqrt{2}}{2}x+\dfrac{\sqrt{2}}{4}\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)^{2}-\operatorname{sen} x$

Se evalúa en los dos extremos. En $x=\dfrac{\pi}{2}$, el paréntesis vale $\dfrac{3\pi}{4}$:

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}\cdot\dfrac{9\pi^{2}}{16}-1=\dfrac{\sqrt{2}\,\pi}{4}+\dfrac{9\sqrt{2}\,\pi^{2}}{64}-1$

En $x=-\dfrac{\pi}{4}$, el paréntesis se anula:

$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\pi}{4}+0-\operatorname{sen}\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}\,\pi}{8}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Restando:

$A=\dfrac{\sqrt{2}\,\pi}{4}+\dfrac{9\sqrt{2}\,\pi^{2}}{64}-1+\dfrac{\sqrt{2}\,\pi}{8}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$A=\dfrac{3\sqrt{2}\,\pi}{8}+\dfrac{9\sqrt{2}\,\pi^{2}}{64}-1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$A\approx 1{,}6661+1{,}9628-1-0{,}7071=1{,}9218$

El área de la superficie pedida es $\dfrac{3\sqrt{2}\,\pi}{8}+\dfrac{9\sqrt{2}\,\pi^{2}}{64}-1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 1{,}9218$ unidades cuadradas.