Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2021

Sea la función $f(x)=\dfrac{x^{2}}{2-e^{-x}}$. Determine el dominio, los extremos relativos y las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas cuando existan. [2 puntos]

$\textbf{Sea la función } \boldsymbol{f(x)=\dfrac{x^{2}}{2-e^{-x}}}\textbf{. Determine el dominio, los extremos relativos y las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas cuando existan. [2 puntos]}$

$\textbf{Dominio.}$

La función está definida donde el denominador no se anule:

$2-e^{-x}=0 \Rightarrow e^{-x}=2 \Rightarrow -x=\ln 2 \Rightarrow x=-\ln 2$

$\text{Dom}\,f=\mathbb{R}-\{-\ln 2\},\qquad -\ln 2\approx -0{,}6931$

$\textbf{Asíntotas verticales.}$

La única candidata es $x=-\ln 2$, donde el numerador vale $(\ln 2)^{2}\neq 0$. El signo del denominador cambia al cruzar ese punto: si $x<-\ln 2$ entonces $e^{-x}>2$ y el denominador es negativo, y si $x>-\ln 2$ es positivo.

$\lim_{x\to (-\ln 2)^{-}}\dfrac{x^{2}}{2-e^{-x}}=\dfrac{(\ln 2)^{2}}{0^{-}}=-\infty$

$\lim_{x\to (-\ln 2)^{+}}\dfrac{x^{2}}{2-e^{-x}}=\dfrac{(\ln 2)^{2}}{0^{+}}=+\infty$

$x=-\ln 2$ es asíntota vertical.

$\textbf{Asíntotas horizontales.}$

Hay que estudiar las dos ramas por separado, porque la exponencial se comporta de forma muy distinta en cada una.

$\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^{2}}{2-e^{-x}}=\dfrac{+\infty}{2-0}=+\infty$

$\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x^{2}}{2-e^{-x}}=\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x^{2}}{-e^{-x}}=-\lim_{x\to -\infty}x^{2}e^{x}=0$

porque la exponencial $e^{x}$ tiende a cero más deprisa de lo que crece cualquier potencia. Por tanto $y=0$ es asíntota horizontal, pero solo en la rama de la izquierda.

$\textbf{Asíntotas oblicuas.}$

Por la izquierda no puede haberlas, porque ya hay horizontal. Por la derecha se calcula la pendiente:

$m=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x}{2-e^{-x}}=+\infty$

No es finita, luego no hay asíntota oblicua: la rama derecha es una rama parabólica, pues la función se comporta como $\dfrac{x^{2}}{2}$.

$\textbf{Extremos relativos.}$

Se deriva por la regla del cociente, teniendo en cuenta que la derivada de $2-e^{-x}$ es $e^{-x}$:

$f'(x)=\dfrac{2x\left(2-e^{-x}\right)-x^{2}e^{-x}}{\left(2-e^{-x}\right)^{2}}=\dfrac{x\left[4-2e^{-x}-xe^{-x}\right]}{\left(2-e^{-x}\right)^{2}}=\dfrac{x\left[4-(x+2)e^{-x}\right]}{\left(2-e^{-x}\right)^{2}}$

El denominador es un cuadrado, positivo en todo el dominio, así que el signo lo deciden los dos factores del numerador. El primero se anula en $x=0$. Para el segundo hay que resolver

$(x+2)e^{-x}=4$

Se estudia la función $g(x)=(x+2)e^{-x}$: su derivada es $g'(x)=e^{-x}-(x+2)e^{-x}=-(x+1)e^{-x}$, que se anula en $x=-1$ y cambia de positiva a negativa, de modo que ahí hay un máximo absoluto:

$g(-1)=1\cdot e^{1}=e\approx 2{,}718<4$

Como $g(x)\leq e<4$ para todo $x$, el corchete $4-(x+2)e^{-x}$ es siempre positivo y el signo de $f'(x)$ es simplemente el de $x$.



$f$ es decreciente en $(-\infty,-\ln 2)$ y en $(-\ln 2,\,0)$, y creciente en $(0,+\infty)$.

En $x=0$ pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo:

$f(0)=\dfrac{0}{2-1}=0 \Rightarrow \text{mínimo relativo } (0,0)$

No hay ningún máximo relativo. El único extremo es ese mínimo, que además es el valor más pequeño que toma la función en toda la rama $x>-\ln 2$, donde es siempre positiva o nula.