Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2021

La duración de un cierto modelo de máquina de aire acondicionado sigue una distribución normal, con media 20 años y desviación típica 5 años. El fabricante garantiza el buen funcionamiento de la máquina por un periodo de 25 años. [2 puntos]

a) ¿Qué porcentaje de máquinas se espera que no cumplan la garantía?

b) ¿Qué proporción de máquinas tienen una duración comprendida entre los 15 y 21 años?

Utilice la tabla de la distribución normal tipificada.

Se llama $X$ a la duración, en años, de una máquina. Según el enunciado

$X\sim N(20,5)$

$\textbf{a) ¿Qué porcentaje de máquinas se espera que no cumplan la garantía?}$

No cumplir la garantía es durar menos de los 25 años garantizados, así que se pide $P(X<25)$. Se tipifica:

$P(X<25)=P\left(Z<\dfrac{25-20}{5}\right)=P(Z<1)$

La tabla da directamente esta probabilidad acumulada:

$P(Z<1)=0{,}8413$



Se espera que un $84{,}13\ \%$ de las máquinas no cumpla la garantía. Es un porcentaje muy alto, y era previsible: los 25 años garantizados están por encima de la duración media.

$\textbf{b) ¿Qué proporción de máquinas tienen una duración comprendida entre los 15 y 21 años?}$

Se tipifican los dos extremos:

$P(15\leq X\leq 21)=P\left(\dfrac{15-20}{5}\leq Z\leq\dfrac{21-20}{5}\right)=P(-1\leq Z\leq 0{,}2)$

La probabilidad del intervalo es la diferencia de las acumuladas, y la acumulada en $-1$ se obtiene por simetría de la campana:

$P(Z\leq -1)=1-P(Z\leq 1)=1-0{,}8413=0{,}1587$

$P(Z\leq 0{,}2)=0{,}5793$

$P(-1\leq Z\leq 0{,}2)=0{,}5793-0{,}1587=0{,}4206$



Un $42{,}06\ \%$ de las máquinas dura entre 15 y 21 años.