Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Halle las ecuaciones de la recta que pasa por el punto $P(2,\,-1,\,1)$ y corta perpendicularmente a la recta $r \equiv \dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-1}{2}=z$. [2 puntos]

$\textbf{Halle las ecuaciones de la recta que pasa por el punto } \boldsymbol{P(2,\,-1,\,1)}\textbf{ y corta perpendicularmente a la recta } \boldsymbol{r\equiv\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-1}{2}=z}\textbf{. [2 puntos]}$

De la ecuación continua de $r$ se leen un punto y un vector director:

$r:\ A(2,1,0),\qquad \vec v_{r}=(2,2,1)$

La recta buscada corta a $r$ en un punto $R$ que todavía no se conoce, pero que se puede escribir en función del parámetro de $r$. Lo que determina ese punto es que el vector $\overrightarrow{PR}$ sea perpendicular a la dirección de $r$.

$R=(2+2t,\ 1+2t,\ t)$

$\overrightarrow{PR}=R-P=(2t,\ 2+2t,\ t-1)$

$\overrightarrow{PR}\cdot\vec v_{r}=0 \Rightarrow 4t+4+4t+t-1=0$

$9t+3=0 \Rightarrow t=-\dfrac{1}{3}$

$R=\left(\dfrac{4}{3},\ \dfrac{1}{3},\ -\dfrac{1}{3}\right)$

$\overrightarrow{PR}=\left(-\dfrac{2}{3},\ \dfrac{4}{3},\ -\dfrac{4}{3}\right)$

Multiplicando por $-\dfrac{3}{2}$ se obtiene un director más cómodo, que sigue valiendo porque solo cambia el módulo y el sentido:

$\vec v_{s}=(1,-2,2)$

Se comprueba la perpendicularidad: $(1,-2,2)\cdot(2,2,1)=2-4+2=0$.



La recta pedida, que pasa por $P$ con esa dirección, es

$s:\ \begin{cases} x=2+\lambda \\ y=-1-2\lambda \\ z=1+2\lambda \end{cases},\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

o, en forma continua,

$s\equiv\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z-1}{2}$