Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Halle la ecuación de una recta tal que: [2 puntos]

a) pasa por el punto $P(0,\,1,\,1)$;

b) está contenida en el plano $\pi \equiv x+y+3z-4=0$;

c) es perpendicular a la recta $r \equiv \begin{cases} x=z+3, \\ y=-z+4. \end{cases}$

$\textbf{Halle la ecuación de una recta que pase por } \boldsymbol{P(0,\,1,\,1)}\textbf{, esté contenida en el plano } \boldsymbol{\pi\equiv x+y+3z-4=0}\textbf{ y sea perpendicular a la recta } \boldsymbol{r\equiv\begin{cases} x=z+3 \\ y=-z+4 \end{cases}}$

La recta buscada, que se llamará $s$, queda determinada por el punto $P$ y por una dirección que ha de cumplir a la vez las dos últimas condiciones.

i) Se comprueba que el punto está en el plano, porque si no la primera y la segunda condición serían incompatibles:

$0+1+3\cdot 1-4=0 \Rightarrow P\in\pi$

ii) Se obtiene un vector director de $r$. Tomando $z$ como parámetro en sus dos ecuaciones:

$r:\ \begin{cases} x=3+t \\ y=4-t \\ z=t \end{cases} \Rightarrow \vec v_{r}=(1,-1,1)$

iii) Se obtiene la dirección de $s$. Estar contenida en $\pi$ obliga a que su director sea perpendicular al normal $\vec n_{\pi}=(1,1,3)$; ser perpendicular a $r$, a que lo sea a $\vec v_{r}$. Un vector perpendicular a los dos es su producto vectorial:

$\vec v_{s}=\vec n_{\pi}\times\vec v_{r}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}=(1+3,\ 3-1,\ -1-1)=(4,2,-2)$

Se simplifica dividiendo entre 2:

$\vec v_{s}=(2,1,-1)$

Se comprueban las dos condiciones: $(2,1,-1)\cdot(1,1,3)=2+1-3=0$ y $(2,1,-1)\cdot(1,-1,1)=2-1-1=0$.



Con el punto y el director:

$s:\ \begin{cases} x=2\lambda \\ y=1+\lambda \\ z=1-\lambda \end{cases},\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

o, en forma continua,

$s\equiv\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{-1}$