Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Discuta y resuelva el sistema de ecuaciones lineales [2 puntos]

$\begin{cases} x+y+az=1 \\ 2x+ay=-1 \\ ax+y+z=1 \end{cases}$

según el valor del parámetro real $a$. Determine la inversa de la matriz asociada al sistema para $a=0$.

$\textbf{Discuta y resuelva el sistema } \boldsymbol{\begin{cases} x+y+az=1 \\ 2x+ay=-1 \\ ax+y+z=1 \end{cases}}\textbf{ según el valor del parámetro real } \boldsymbol{a}\textbf{. Determine la inversa de la matriz asociada al sistema para } \boldsymbol{a=0}\textbf{. [2 puntos]}$

Se comparan los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada.

$M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & a & 0 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix},\qquad M'=\begin{pmatrix} 1 & 1 & a & 1 \\ 2 & a & 0 & -1 \\ a & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Se desarrolla el determinante por la primera fila:

$|M|=1\left(a-0\right)-1\left(2-0\right)+a\left(2-a^{2}\right)=a-2+2a-a^{3}$

$|M|=-a^{3}+3a-2=-\left(a^{3}-3a+2\right)=-(a-1)^{2}(a+2)$

$|M|=0 \Rightarrow a=1 \quad\text{o}\quad a=-2$

$\textbf{Si } \boldsymbol{a\neq 1}\textbf{ y } \boldsymbol{a\neq -2}\textbf{: compatible determinado.}$

Entonces $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=3=\text{número de incógnitas}$ y la solución es única. Resolviendo por Cramer se obtiene

$x=\dfrac{a+1}{(a-1)(a+2)},\qquad y=\dfrac{-(a+3)}{(a-1)(a+2)},\qquad z=\dfrac{a+1}{(a-1)(a+2)}$

$\textbf{Si } \boldsymbol{a=1}\textbf{: compatible indeterminado.}$

El sistema queda

$\begin{cases} x+y+z=1 \\ 2x+y=-1 \\ x+y+z=1 \end{cases}$

La primera y la tercera ecuación son idénticas, así que solo hay dos ecuaciones distintas. El menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=-1\neq 0$ da $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=2<3$: compatible indeterminado con un grado de libertad.

De la segunda ecuación, $y=-1-2x$; llevándolo a la primera, $z=1-x-y=1-x+1+2x=2+x$. Tomando $x=\lambda$:

$(x,y,z)=(\lambda,\ -1-2\lambda,\ 2+\lambda),\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

$\textbf{Si } \boldsymbol{a=-2}\textbf{: incompatible.}$

El sistema queda

$\begin{cases} x+y-2z=1 \\ 2x-2y=-1 \\ -2x+y+z=1 \end{cases}$

El menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix}=-4\neq 0$ da $\operatorname{ran}(M)=2$, ya que el determinante completo se anula. En la ampliada, en cambio, el menor que se obtiene sustituyendo la tercera columna por los términos independientes vale

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & -1 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix}=-3\neq 0$

luego $\operatorname{ran}(M')=3\neq 2=\operatorname{ran}(M)$ y el sistema es incompatible.

$\textbf{Inversa de la matriz asociada para } \boldsymbol{a=0}\textbf{.}$

$M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix},\qquad |M|=-0^{3}+3\cdot 0-2=-2\neq 0$

Se calcula por el método de la matriz adjunta, $M^{-1}=\dfrac{1}{|M|}\left(\text{Adj}\,M\right)^{T}$. Los adjuntos son

$M_{11}=0,\quad M_{12}=-2,\quad M_{13}=2,\quad M_{21}=-1,\quad M_{22}=1,\quad M_{23}=-1,\quad M_{31}=0,\quad M_{32}=0,\quad M_{33}=-2$

$M^{-1}=\dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & -\frac{1}{2} & 0 \\ -1 & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}$

Se comprueba el producto:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & -\frac{1}{2} & 0 \\ -1 & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$