Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Calcule el área del recinto limitado por la función $f(x)=\dfrac{x+3}{(x+2)^{2}}$, el eje $OX$ y las rectas $x=0$ y $x=5$. [2 puntos]

$\textbf{Calcule el área del recinto limitado por la función } \boldsymbol{f(x)=\dfrac{x+3}{(x+2)^{2}}}\textbf{, el eje } \boldsymbol{OX}\textbf{ y las rectas } \boldsymbol{x=0}\textbf{ y } \boldsymbol{x=5}\textbf{. [2 puntos]}$

Lo primero es comprobar que la función no cambia de signo dentro del intervalo, porque de eso depende que el área sea la integral sin más. En $[0,5]$ el numerador $x+3$ es positivo y el denominador es un cuadrado, también positivo:

$f(x)>0 \quad \text{para todo } x\in[0,5]$

de modo que el recinto queda por encima del eje de abscisas.



$A=\int_{0}^{5}\dfrac{x+3}{(x+2)^{2}}\,dx$

Para la primitiva conviene el cambio $u=x+2$, con el que el numerador se escribe $x+3=u+1$:

$\begin{cases} u=x+2 \\ du=dx \end{cases}$

$\int\dfrac{u+1}{u^{2}}\,du=\int\left(\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{u^{2}}\right)du=\ln|u|-\dfrac{1}{u}+C$

Deshaciendo el cambio:

$\int\dfrac{x+3}{(x+2)^{2}}\,dx=\ln|x+2|-\dfrac{1}{x+2}+C$

Aplicando la regla de Barrow:

$A=\left[\ln|x+2|-\dfrac{1}{x+2}\right]_{0}^{5}=\left(\ln 7-\dfrac{1}{7}\right)-\left(\ln 2-\dfrac{1}{2}\right)$

$A=\ln\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{2}=\ln\dfrac{7}{2}+\dfrac{5}{14}$

El área del recinto es $\ln\dfrac{7}{2}+\dfrac{5}{14}\approx 1{,}6099$ unidades cuadradas.