Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Sea $f$ una función continua cuya derivada viene dada de la siguiente manera: [2 puntos]

$f'(x)=\begin{cases} x+1, & x<0, \\ e^{x}, & x \geq 0. \end{cases}$

Halle la expresión de las funciones $f$ y las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de $f$ en el punto $x=0$.

$\textbf{Sea } \boldsymbol{f}\textbf{ una función continua cuya derivada es } \boldsymbol{f'(x)=\begin{cases} x+1, & x<0 \\ e^{x}, & x\geq 0 \end{cases}}\textbf{. Halle la expresión de las funciones } \boldsymbol{f}\textbf{ y las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{ en el punto } \boldsymbol{x=0}\textbf{. [2 puntos]}$

Conocer la derivada determina la función salvo una constante en cada trozo, así que se integra rama por rama y después se usa la continuidad para relacionar las dos constantes.

$x<0:\quad \int (x+1)\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}+x+C_{1}$

$x\geq 0:\quad \int e^{x}\,dx=e^{x}+C_{2}$

$f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}}{2}+x+C_{1}, & x<0 \\ e^{x}+C_{2}, & x\geq 0 \end{cases}$

La continuidad en $x=0$ obliga a que el límite por la izquierda coincida con el valor de la función:

$\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=C_{1},\qquad f(0)=e^{0}+C_{2}=1+C_{2}$

$C_{1}=1+C_{2}$

Llamando $k=C_{2}$, las funciones pedidas forman una familia con un parámetro:

$f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}}{2}+x+k+1, & x<0 \\ e^{x}+k, & x\geq 0 \end{cases},\qquad k\in\mathbb{R}$

Para las rectas tangentes en $x=0$ hay que comprobar primero que la función es derivable ahí, es decir, que las dos derivadas laterales coinciden:

$f'(0^{-})=0+1=1,\qquad f'(0^{+})=e^{0}=1$

Coinciden, luego $f$ es derivable en $x=0$ y hay una única recta tangente para cada valor de $k$. Su pendiente es $m=1$ y pasa por el punto $(0,\,f(0))=(0,\,k+1)$:

$y-(k+1)=1\cdot(x-0)$

$y=x+k+1$

Las rectas tangentes son, por tanto, todas las de pendiente 1 de la forma $y=x+k+1$: una por cada función de la familia. Por ejemplo, con $k=0$ la función es $f(x)=e^{x}$ para $x\geq 0$ y la tangente en el origen es $y=x+1$.