Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2021

Sea la función $f(x)=xe^{1/x^{3}}$. Determine el dominio y las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas cuando existan. [2 puntos]

$\textbf{Sea la función } \boldsymbol{f(x)=xe^{1/x^{3}}}\textbf{. Determine el dominio y las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas cuando existan. [2 puntos]}$

La función es el producto de un polinomio por una exponencial cuyo exponente es una fracción; lo único que la limita es que el denominador del exponente no puede anularse.

$x^{3}=0 \Rightarrow x=0 \Rightarrow \text{Dom}\,f=\mathbb{R}-\{0\}$

$\textbf{Asíntotas verticales.}$

La única candidata es $x=0$, y aquí hay que calcular los dos límites laterales por separado, porque el exponente cambia de signo al cruzar el origen.

Por la derecha, $x\to 0^{+}$ hace que $\dfrac{1}{x^{3}}\to+\infty$, de modo que la exponencial tiende a infinito. Aparece la indeterminación $0\cdot\infty$, que se rompe observando que la exponencial crece mucho más deprisa de lo que el factor $x$ se hace pequeño:

$\lim_{x\to 0^{+}}xe^{1/x^{3}}=+\infty$

Por la izquierda, $x\to 0^{-}$ hace que $\dfrac{1}{x^{3}}\to-\infty$ y la exponencial tienda a cero:

$\lim_{x\to 0^{-}}xe^{1/x^{3}}=0^{-}\cdot 0=0$

Por tanto $x=0$ es asíntota vertical, pero solo por la derecha: por la izquierda la función se acerca a 0.



$\textbf{Asíntotas horizontales.}$

Cuando $x\to\pm\infty$ el exponente tiende a cero y la exponencial a 1, así que la función se comporta como $x$:

$\lim_{x\to +\infty}xe^{1/x^{3}}=+\infty,\qquad \lim_{x\to -\infty}xe^{1/x^{3}}=-\infty$

No hay asíntotas horizontales.

$\textbf{Asíntotas oblicuas.}$

Se buscan de la forma $y=mx+n$.

$m=\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}e^{1/x^{3}}=e^{0}=1$

$n=\lim_{x\to\infty}\left[f(x)-x\right]=\lim_{x\to\infty}x\left(e^{1/x^{3}}-1\right)$

Es una indeterminación $\infty\cdot 0$. Se resuelve teniendo en cuenta que, cuando $u\to 0$, se cumple $e^{u}-1\sim u$; aquí $u=\dfrac{1}{x^{3}}$:

$n=\lim_{x\to\infty}x\cdot\dfrac{1}{x^{3}}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0$

Los mismos cálculos valen cuando $x\to-\infty$, de modo que la recta

$y=x$

es asíntota oblicua en las dos ramas.