Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2022

La presión arterial sistólica de una muestra de adolescentes sigue una distribución normal de media 120 y desviación típica 12. Si se elige un adolescente al azar, halle: [2 puntos]

i) La probabilidad de que su presión arterial sea superior a 132.

ii) La probabilidad de que su presión arterial esté entre 96 y 144.

Utilice la tabla de la distribución normal tipificada.

Se llama $X$ a la presión arterial sistólica de un adolescente. Según el enunciado

$X\sim N(120,12)$

$\textbf{i) La probabilidad de que su presión arterial sea superior a 132.}$

Se tipifica el valor 132 restando la media y dividiendo por la desviación típica:

$P(X>132)=P\left(Z>\dfrac{132-120}{12}\right)=P(Z>1)$

Como la tabla da probabilidades acumuladas, se pasa al suceso contrario:

$P(Z>1)=1-P(Z\leq 1)=1-0{,}8413=0{,}1587$



La probabilidad de que la presión arterial supere 132 es $0{,}1587$.

$\textbf{ii) La probabilidad de que su presión arterial esté entre 96 y 144.}$

Los dos extremos son simétricos respecto de la media y distan de ella dos desviaciones típicas:

$P(96\leq X\leq 144)=P\left(\dfrac{96-120}{12}\leq Z\leq\dfrac{144-120}{12}\right)=P(-2\leq Z\leq 2)$

La probabilidad del intervalo es la diferencia de las acumuladas en sus extremos, y la acumulada en $-2$ se obtiene por simetría de la campana:

$P(Z\leq -2)=1-P(Z\leq 2)=1-0{,}9772=0{,}0228$

$P(-2\leq Z\leq 2)=0{,}9772-0{,}0228=0{,}9544$



La probabilidad de que la presión arterial esté entre 96 y 144 es $0{,}9544$: más del 95 % de los adolescentes de la muestra.