Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Estudie, según los valores del parámetro real $a$, la posición relativa de las rectas siguientes: [2 puntos]

$r \equiv \begin{cases} ax+3y-2z=12, \\ 2x+5y-z=6, \end{cases} \qquad s \equiv \begin{cases} x=5+3\lambda, \\ y=1-\lambda, \\ z=6+4\lambda. \end{cases}$

$\textbf{Estudie, según los valores del parámetro real } \boldsymbol{a}\textbf{, la posición relativa de las rectas } \boldsymbol{r\equiv\begin{cases} ax+3y-2z=12 \\ 2x+5y-z=6 \end{cases}}\textbf{ y } \boldsymbol{s\equiv\begin{cases} x=5+3\lambda \\ y=1-\lambda \\ z=6+4\lambda \end{cases}}$

Se empieza por poner las dos rectas en el mismo lenguaje. De $s$ se leen directamente punto y director; de $r$, el director es el producto vectorial de los dos normales.

$s:\ B(5,1,6),\qquad \vec v_{s}=(3,-1,4)$

$\vec v_{r}=(a,3,-2)\times(2,5,-1)=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ a & 3 & -2 \\ 2 & 5 & -1 \end{vmatrix}=(-3+10,\ -4+a,\ 5a-6)=(7,\ a-4,\ 5a-6)$

$\textbf{¿Pueden ser paralelas?}$

Lo serían si los dos directores fuesen proporcionales. De la primera componente, $7=3k$, saldría $k=\dfrac{7}{3}$; de la segunda, $a-4=-\dfrac{7}{3}$, es decir $a=\dfrac{5}{3}$; y de la tercera, $5a-6=\dfrac{28}{3}$, es decir $a=\dfrac{46}{15}$. Los dos valores no coinciden, de modo que las rectas no son paralelas ni coincidentes para ningún valor de $a$: o se cortan o se cruzan.

$\textbf{¿Cuándo se cortan?}$

Se cortan cuando el sistema formado por las cuatro ecuaciones —las dos de $r$ y dos que describan $s$— es compatible. Se pasa $s$ a implícitas eliminando el parámetro: de las dos primeras coordenadas, $x+3y=5+3\lambda+3-3\lambda=8$, y de las dos últimas, $4y+z=4-4\lambda+6+4\lambda=10$.

$s:\ \begin{cases} x+3y=8 \\ 4y+z=10 \end{cases}$

La matriz ampliada del sistema de cuatro ecuaciones es

$M'=\begin{pmatrix} a & 3 & -2 & 12 \\ 2 & 5 & -1 & 6 \\ 1 & 3 & 0 & 8 \\ 0 & 4 & 1 & 10 \end{pmatrix}$

y las rectas son coplanarias —se cortan, puesto que ya se ha descartado el paralelismo— exactamente cuando ese determinante se anula:

$|M'|=96-24a$

$|M'|=0 \Rightarrow a=4$

$\textbf{Si } \boldsymbol{a=4}\textbf{: las rectas se cortan.}$

El rango de la matriz de coeficientes es 3 y el de la ampliada también, así que el sistema es compatible determinado y el punto común es único. Resolviendo:

$\begin{cases} x+3y=8 \\ 4y+z=10 \\ 2x+5y-z=6 \end{cases}$

De la primera, $x=8-3y$; de la segunda, $z=10-4y$. Sustituyendo en la tercera:

$2(8-3y)+5y-(10-4y)=6 \Rightarrow 16-6y+5y-10+4y=6 \Rightarrow 3y=0 \Rightarrow y=0$

$x=8,\qquad z=10$

Las rectas se cortan en el punto $(8,0,10)$. Se comprueba en la primera ecuación de $r$: $4\cdot 8+0-2\cdot 10=32-20=12$.

$\textbf{Si } \boldsymbol{a\neq 4}\textbf{: las rectas se cruzan.}$

El determinante de la ampliada no se anula, luego el rango de la ampliada es 4 y el de los coeficientes 3: el sistema es incompatible. Las rectas no tienen ningún punto común y, al no ser paralelas, se cruzan.