Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Determine, según los valores del parámetro real $a$, la posición relativa de la recta [2 puntos]

$r \equiv \begin{cases} ax+3y-2z=4, \\ 2x-y+z=2, \end{cases}$

y el plano de ecuación $6x+5y-3z=2$.

$\textbf{Determine, según los valores del parámetro real } \boldsymbol{a}\textbf{, la posición relativa de la recta } \boldsymbol{r\equiv\begin{cases} ax+3y-2z=4 \\ 2x-y+z=2 \end{cases}}\textbf{ y el plano } \boldsymbol{6x+5y-3z=2}$

La recta viene dada como intersección de dos planos, de modo que la posición relativa de la recta y el plano es el carácter del sistema formado por las tres ecuaciones.

$M=\begin{pmatrix} a & 3 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ 6 & 5 & -3 \end{pmatrix},\qquad M'=\begin{pmatrix} a & 3 & -2 & 4 \\ 2 & -1 & 1 & 2 \\ 6 & 5 & -3 & 2 \end{pmatrix}$

Antes conviene asegurarse de que $r$ es realmente una recta: los normales $(a,3,-2)$ y $(2,-1,1)$ no son proporcionales para ningún valor de $a$, porque $\frac{3}{-1}=-3$ y $\frac{-2}{1}=-2$ no coinciden.

Se calcula el determinante desarrollando por la primera fila:

$|M|=a(3-5)-3(-6-6)-2(10+6)=-2a+36-32=-2a+4$

$|M|=0 \Rightarrow a=2$

$\textbf{Si } \boldsymbol{a\neq 2}\textbf{: la recta y el plano son secantes.}$

Entonces $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=3=\text{número de incógnitas}$: el sistema es compatible determinado y tiene una única solución. La recta corta al plano en un punto.

$\textbf{Si } \boldsymbol{a=2}\textbf{: la recta es paralela al plano.}$

La matriz de coeficientes queda

$M=\begin{pmatrix} 2 & 3 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ 6 & 5 & -3 \end{pmatrix}$

El menor $\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}=-8\neq 0$ da $\operatorname{ran}(M)=2$; de hecho la tercera fila es $2F_{1}+F_{2}$, como se comprueba: $2(2,3,-2)+(2,-1,1)=(6,5,-3)$.

Con los términos independientes la relación se rompe: $2\cdot 4+2=10\neq 2$. Por tanto $\operatorname{ran}(M')=3$ y el sistema es incompatible.

Como el rango de la matriz de coeficientes es 2 y el de la ampliada 3, la recta y el plano no tienen ningún punto en común: son paralelos y la recta no está contenida en el plano.