Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvalo en los casos en que es compatible: [2 puntos]

$\begin{cases} x+y+z=2, \\ x+2y+az=8, \\ 2x-y-z=1, \\ x-y+z=-2. \end{cases}$

$\textbf{Estudie el sistema } \boldsymbol{\begin{cases} x+y+z=2 \\ x+2y+az=8 \\ 2x-y-z=1 \\ x-y+z=-2 \end{cases}}\textbf{ y resuélvalo en los casos en que es compatible. [2 puntos]}$

Hay cuatro ecuaciones y tres incógnitas, y solo una de ellas depende del parámetro. Conviene empezar por las tres que no dependen de él, porque si forman ya un sistema compatible determinado dejan fijada la única terna candidata.

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}=1(-1-1)-1(2+1)+1(-2+1)=-2-3-1=-6\neq 0$

Las ecuaciones primera, tercera y cuarta forman por sí solas un sistema compatible determinado. Se resuelve. Sumando la primera y la tercera:

$(x+y+z)+(2x-y-z)=2+1 \Rightarrow 3x=3 \Rightarrow x=1$

Con $x=1$, la primera y la cuarta quedan

$\begin{cases} y+z=1 \\ -y+z=-3 \end{cases}$

Sumándolas, $2z=-2 \Rightarrow z=-1$, y de ahí $y=2$.

$(x,y,z)=(1,\,2,\,-1)$

Esa terna es la única candidata a solución del sistema completo; para que lo sea de verdad tiene que cumplir también la segunda ecuación, que es la del parámetro:

$1+2\cdot 2+a\cdot(-1)=8 \Rightarrow 5-a=8 \Rightarrow a=-3$

$\textbf{Si } \boldsymbol{a=-3}\textbf{: compatible determinado.}$

Las cuatro ecuaciones se cumplen a la vez y $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=3=\text{número de incógnitas}$. La solución es

$(x,y,z)=(1,\,2,\,-1)$

Se comprueba en la segunda ecuación: $1+4+3=8$.

$\textbf{Si } \boldsymbol{a\neq -3}\textbf{: incompatible.}$

La terna $(1,2,-1)$ es la única que satisface las otras tres ecuaciones y no satisface la segunda, de modo que el sistema no tiene solución: $\operatorname{ran}(M)=3$ pero $\operatorname{ran}(M')=4$. Geométricamente, los cuatro planos no tienen ningún punto común: tres de ellos se cortan en $(1,2,-1)$ y el segundo pasa de largo.