Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule los siguientes límites: [2 puntos]

i) $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\operatorname{tg} x-x}{x-\operatorname{sen} x}$

ii) $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4x^{3}-6x^{2}}{4x^{3}-1}\right)^{\frac{x^{2}+1}{x}}$

$\textbf{i) } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg} x-x}{x-\operatorname{sen} x}}$

Al sustituir, numerador y denominador se anulan: es una indeterminación $\frac{0}{0}$, que se resuelve aplicando la regla de L'Hôpital tantas veces como haga falta.

$\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{tg} x-x}{x-\operatorname{sen} x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\frac{1}{\cos^{2}x}-1}{1-\cos x}$

Sigue siendo $\frac{0}{0}$. Conviene simplificar antes de volver a derivar, reduciendo el numerador a común denominador:

$\dfrac{1}{\cos^{2}x}-1=\dfrac{1-\cos^{2}x}{\cos^{2}x}=\dfrac{\operatorname{sen}^{2}x}{\cos^{2}x}$

$\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}^{2}x}{\cos^{2}x\,(1-\cos x)}$

Ahora se usa que $\operatorname{sen}^{2}x=1-\cos^{2}x=(1-\cos x)(1+\cos x)$, lo que permite cancelar el factor que se anula:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{\cos^{2}x\,(1-\cos x)}=\lim_{x\to 0}\dfrac{1+\cos x}{\cos^{2}x}=\dfrac{2}{1}=2$

$\textbf{ii) } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{4x^{3}-6x^{2}}{4x^{3}-1}\right)^{\frac{x^{2}+1}{x}}}$

La base tiende a 1 y el exponente a infinito: es la indeterminación del número $e$.

$\lim u(x)^{v(x)}=e^{\lim v(x)\left[u(x)-1\right]}$

$u(x)-1=\dfrac{4x^{3}-6x^{2}}{4x^{3}-1}-1=\dfrac{-6x^{2}+1}{4x^{3}-1}$

$\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^{2}+1}{x}\cdot\dfrac{-6x^{2}+1}{4x^{3}-1}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{\left(x^{2}+1\right)\left(-6x^{2}+1\right)}{x\left(4x^{3}-1\right)}$

Numerador y denominador tienen grado 4, así que el límite es el cociente de los coeficientes principales:

$=\dfrac{-6}{4}=-\dfrac{3}{2}$

$\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{4x^{3}-6x^{2}}{4x^{3}-1}\right)^{\frac{x^{2}+1}{x}}=e^{-\frac{3}{2}}\approx 0{,}2231$

Los límites pedidos valen $2$ y $e^{-3/2}$.