Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2022

Halle el valor de $a$ y $b$ para que la curva $y=x^{3}+ax^{2}+bx+1$ tenga en el punto $(x_0,\,-1)$ un punto de inflexión y la pendiente de la recta tangente valga 1. [2 puntos]

$\textbf{Halle el valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para que la curva } \boldsymbol{y=x^{3}+ax^{2}+bx+1}\textbf{ tenga en el punto } \boldsymbol{(x_0,\,-1)}\textbf{ un punto de inflexión y la pendiente de la recta tangente valga 1. [2 puntos]}$

Hay tres incógnitas —$a$, $b$ y la abscisa $x_{0}$— y el enunciado da tres condiciones: que la segunda derivada se anule en $x_{0}$, que la primera valga 1 y que la curva pase por el punto.

$y'=3x^{2}+2ax+b,\qquad y''=6x+2a$

$\textbf{Condición de inflexión.}$

$y''(x_{0})=0 \Rightarrow 6x_{0}+2a=0 \Rightarrow x_{0}=-\dfrac{a}{3}$

$\textbf{Condición sobre la pendiente.}$

$y'(x_{0})=1 \Rightarrow 3\dfrac{a^{2}}{9}-\dfrac{2a^{2}}{3}+b=1 \Rightarrow -\dfrac{a^{2}}{3}+b=1 \Rightarrow b=1+\dfrac{a^{2}}{3}$

$\textbf{Condición de pertenencia.}$

$y(x_{0})=-1 \Rightarrow -\dfrac{a^{3}}{27}+\dfrac{a^{3}}{9}-\dfrac{ab}{3}+1=-1$

$\dfrac{2a^{3}}{27}-\dfrac{ab}{3}=-2$

Se sustituye la expresión de $b$ obtenida antes:

$\dfrac{2a^{3}}{27}-\dfrac{a}{3}\left(1+\dfrac{a^{2}}{3}\right)=-2 \Rightarrow \dfrac{2a^{3}}{27}-\dfrac{a}{3}-\dfrac{a^{3}}{9}=-2$

$\dfrac{2a^{3}-3a^{3}}{27}-\dfrac{a}{3}=-2 \Rightarrow -\dfrac{a^{3}}{27}-\dfrac{a}{3}=-2$

Multiplicando por $-27$:

$a^{3}+9a-54=0$

Se buscan raíces enteras entre los divisores de 54, y $a=3$ la cumple: $27+27-54=0$. Dividiendo por Ruffini:

$a^{3}+9a-54=(a-3)\left(a^{2}+3a+18\right)$

El segundo factor no tiene raíces reales, porque su discriminante vale $9-72=-63<0$. La única solución es

$a=3$

$b=1+\dfrac{9}{3}=4,\qquad x_{0}=-\dfrac{3}{3}=-1$

Se comprueban las tres condiciones con $y=x^{3}+3x^{2}+4x+1$:

$y(-1)=-1+3-4+1=-1$

$y'(-1)=3-6+4=1$

$y''(-1)=-6+6=0$

Los valores pedidos son $a=3$ y $b=4$, y el punto de inflexión es $(-1,-1)$.