Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2022

Sea $f(x)=\dfrac{x^{3}}{(1+x)^{2}}$. [2 puntos]

i) Halle el dominio y las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de la función $f$, en caso de que existan.

ii) Halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos y puntos de inflexión si los hubiera.

$\textbf{i) Halle el dominio y las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de la función } \boldsymbol{f(x)=\dfrac{x^{3}}{(1+x)^{2}}}\textbf{, en caso de que existan.}$

Es una función racional, definida donde el denominador no se anule:

$(1+x)^{2}=0 \Rightarrow x=-1 \Rightarrow \text{Dom}\,f=\mathbb{R}-\{-1\}$

La única candidata a asíntota vertical es $x=-1$. Allí el numerador vale $-1$ y el denominador tiende a cero por valores positivos, porque es un cuadrado:

$\lim_{x\to -1}\dfrac{x^{3}}{(1+x)^{2}}=\dfrac{-1}{0^{+}}=-\infty$

$x=-1$ es asíntota vertical, y la función se va a $-\infty$ por los dos lados.

Para las horizontales, el grado del numerador, 3, supera al del denominador, 2:

$\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$

No hay asíntota horizontal. Como la diferencia de grados es exactamente 1, sí puede haber oblicua, $y=mx+n$:

$m=\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^{3}}{x(1+x)^{2}}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^{2}}{x^{2}+2x+1}=1$

$n=\lim_{x\to\infty}\left[f(x)-x\right]=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^{3}-x(1+x)^{2}}{(1+x)^{2}}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{-2x^{2}-x}{x^{2}+2x+1}=-2$

La asíntota oblicua es $y=x-2$.

$\textbf{ii) Halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos y puntos de inflexión si los hubiera.}$

Se deriva por la regla del cociente y se simplifica sacando factor común $(1+x)^{2}$ en el numerador:

$f'(x)=\dfrac{3x^{2}(1+x)^{2}-x^{3}\cdot 2(1+x)}{(1+x)^{4}}=\dfrac{3x^{2}(1+x)-2x^{3}}{(1+x)^{3}}=\dfrac{x^{3}+3x^{2}}{(1+x)^{3}}$

$f'(x)=\dfrac{x^{2}(x+3)}{(1+x)^{3}}$

El factor $x^{2}$ es positivo salvo en $x=0$, donde se anula sin cambiar de signo, así que el signo de la derivada lo deciden $x+3$ y $(1+x)^{3}$. Los valores que hay que colocar en la recta de signos son $x=-3$ (donde $f'=0$), $x=-1$ (fuera del dominio) y $x=0$ (donde $f'=0$).



$f$ es creciente en $(-\infty,-3)$, decreciente en $(-3,-1)$ y creciente en $(-1,0)$ y en $(0,+\infty)$.

En $x=-3$ pasa de crecer a decrecer: hay un máximo relativo.

$f(-3)=\dfrac{-27}{(1-3)^{2}}=\dfrac{-27}{4}=-6{,}75$

En $x=0$ la derivada se anula pero no cambia de signo, de modo que no hay extremo: es un punto de tangente horizontal. No hay ningún mínimo relativo.

Para los puntos de inflexión se deriva otra vez:

$f''(x)=\dfrac{\left(3x^{2}+6x\right)(1+x)^{3}-\left(x^{3}+3x^{2}\right)\cdot 3(1+x)^{2}}{(1+x)^{6}}=\dfrac{\left(3x^{2}+6x\right)(1+x)-3x^{3}-9x^{2}}{(1+x)^{4}}$

$f''(x)=\dfrac{3x^{2}+3x^{3}+6x+6x^{2}-3x^{3}-9x^{2}}{(1+x)^{4}}=\dfrac{6x}{(1+x)^{4}}$

El denominador es una potencia par, siempre positiva, así que el signo de $f''(x)$ es el de $x$: la función es cóncava hacia abajo para $x<0$ y hacia arriba para $x>0$. Hay cambio de curvatura en $x=0$:

$f(0)=0 \Rightarrow \text{punto de inflexión } (0,0)$

Es, además, un punto de inflexión de tangente horizontal, lo que explica que en $x=0$ la derivada se anule sin que haya extremo.

Hay un máximo relativo en $\left(-3,-\dfrac{27}{4}\right)$, no hay mínimos relativos y hay un punto de inflexión en $(0,0)$.