Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2022

Una variable aleatoria $X$ sigue una distribución normal de media 4 y desviación típica 2. Calcule el valor de $a$ para que [2 puntos]

$P(4-a \leq X \leq 4+a)=0{,}5934$

Utilice la tabla de la distribución normal tipificada.

$\textbf{Una variable aleatoria } \boldsymbol{X}\textbf{ sigue una distribución normal de media 4 y desviación típica 2. Calcule el valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ para que } \boldsymbol{P(4-a\leq X\leq 4+a)=0{,}5934}\textbf{. [2 puntos]}$

El intervalo $[4-a,\ 4+a]$ está centrado en la media, así que al tipificar queda simétrico respecto de cero:

$X\sim N(4,2)$

$P(4-a\leq X\leq 4+a)=P\left(\dfrac{-a}{2}\leq Z\leq\dfrac{a}{2}\right)=P\left(-z_{0}\leq Z\leq z_{0}\right),\qquad z_{0}=\dfrac{a}{2}$

Por la simetría de la campana, la probabilidad de un intervalo central se relaciona con la acumulada de este modo:

$P(-z_{0}\leq Z\leq z_{0})=2P(Z\leq z_{0})-1$

Se despeja la acumulada que hay que buscar en la tabla:

$2P(Z\leq z_{0})-1=0{,}5934 \Rightarrow P(Z\leq z_{0})=\dfrac{1+0{,}5934}{2}=0{,}7967$

En la tabla de la normal tipificada ese valor aparece exactamente:

$z_{0}=0{,}83$



Deshaciendo el cambio:

$\dfrac{a}{2}=0{,}83 \Rightarrow a=1{,}66$

El valor pedido es $a=1{,}66$, es decir, el intervalo $[2{,}34;\ 5{,}66]$.