Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Halle la ecuación de una recta paralela al plano $\pi \equiv x+y+z=0$ y que contenga al punto $P(1,\,0,\,1)$. ¿Es única dicha recta? Razone la respuesta. [2 puntos]

$\textbf{Halle la ecuación de una recta paralela al plano } \boldsymbol{\pi\equiv x+y+z=0}\textbf{ y que contenga al punto } \boldsymbol{P(1,\,0,\,1)}\textbf{. ¿Es única dicha recta? Razone la respuesta. [2 puntos]}$

Una recta es paralela a un plano cuando su vector director es perpendicular al vector normal del plano y el punto de paso no pertenece al plano. Aquí

$\vec n_{\pi}=(1,1,1)$

y el punto no está en el plano, porque $1+0+1=2\neq 0$.

La condición sobre el director $\vec v=(v_{1},v_{2},v_{3})$ es una sola ecuación:

$\vec v\cdot\vec n_{\pi}=0 \Rightarrow v_{1}+v_{2}+v_{3}=0$

Basta elegir un vector que la cumpla; por ejemplo $\vec v=(1,-1,0)$, con $1-1+0=0$. La recta pedida es

$r:\ \begin{cases} x=1+\lambda \\ y=-\lambda \\ z=1 \end{cases},\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

o, en forma continua, $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{-1}$ con $z=1$.

$\textbf{¿Es única dicha recta?}$

No lo es, y hay infinitas. La condición $v_{1}+v_{2}+v_{3}=0$ es una única ecuación lineal homogénea con tres incógnitas: sus soluciones forman un subespacio vectorial de dimensión 2, generado por ejemplo por $(1,-1,0)$ y $(1,0,-1)$. Cada dirección no proporcional de ese subespacio da una recta distinta que pasa por $P$ y es paralela a $\pi$.



Geométricamente todas esas rectas son las del plano que pasa por $P$ y es paralelo a $\pi$, es decir, el plano $x+y+z=2$: cualquier recta contenida en él y que pase por $P$ cumple lo pedido. Forman un haz de infinitas rectas.