Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Determine los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ para los que $(x,y,z)=(1,2,3)$ es solución del sistema [2 puntos]

$\begin{cases} 2ax+by+z=3c, \\ 3x-2by-2cz=a, \\ 5ax-2y+cz=-4b. \end{cases}$

$\textbf{Determine los valores de los parámetros } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c}\textbf{ para los que } \boldsymbol{(x,y,z)=(1,2,3)}\textbf{ es solución del sistema } \boldsymbol{\begin{cases} 2ax+by+z=3c \\ 3x-2by-2cz=a \\ 5ax-2y+cz=-4b \end{cases}}$

Decir que $(1,2,3)$ es solución significa que al sustituir esos valores las tres igualdades se cumplen. Se sustituye en cada ecuación y se agrupan los parámetros, que pasan a ser las incógnitas del nuevo sistema.

$2a\cdot 1+b\cdot 2+3=3c \Rightarrow 2a+2b-3c=-3$

$3\cdot 1-2b\cdot 2-2c\cdot 3=a \Rightarrow -a-4b-6c=-3 \Rightarrow a+4b+6c=3$

$5a\cdot 1-2\cdot 2+c\cdot 3=-4b \Rightarrow 5a+4b+3c=4$

Queda un sistema lineal de tres ecuaciones con las incógnitas $a$, $b$ y $c$:

$\begin{cases} 2a+2b-3c=-3 \\ a+4b+6c=3 \\ 5a+4b+3c=4 \end{cases}$

Restando la segunda ecuación de la tercera desaparece la $b$:

$4a-3c=1$

Multiplicando la primera por 2 y restándole la tercera desaparece también:

$(4a+4b-6c)-(5a+4b+3c)=-6-4 \Rightarrow -a-9c=-10 \Rightarrow a+9c=10$

Con las dos relaciones se despeja: de la segunda, $a=10-9c$, y sustituyendo en la primera:

$4(10-9c)-3c=1 \Rightarrow 40-36c-3c=1 \Rightarrow -39c=-39 \Rightarrow c=1$

$a=10-9=1$

Y de $a+4b+6c=3$:

$1+4b+6=3 \Rightarrow 4b=-4 \Rightarrow b=-1$

Se comprueba en las tres ecuaciones originales con $a=1$, $b=-1$ y $c=1$:

$2-2+3=3$, $3+4-6=1$ y $5-4+3=4$, que efectivamente valen $3c=3$, $a=1$ y $-4b=4$.

Los parámetros pedidos son $a=1$, $b=-1$ y $c=1$.