Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Determine, si existe, el valor de $a$ de tal manera que: [2 puntos]

i) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\sqrt{9x^{2}+ax+1}-(3x-1)\right)=2$

ii) $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3x+a}{3x-1}\right)^{x}=e$

$\textbf{i) } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{9x^{2}+ax+1}-(3x-1)\right)=2}$

Los dos sumandos tienden a infinito, de modo que aparece la indeterminación $\infty-\infty$ con una raíz. Se elimina multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada.

$\sqrt{9x^{2}+ax+1}-(3x-1)=\dfrac{\left(9x^{2}+ax+1\right)-(3x-1)^{2}}{\sqrt{9x^{2}+ax+1}+(3x-1)}$

Se desarrolla el numerador:

$\left(9x^{2}+ax+1\right)-\left(9x^{2}-6x+1\right)=(a+6)x$

En el denominador, la raíz se comporta como $3x$ cuando $x\to+\infty$, así que numerador y denominador tienen grado 1 y el límite es el cociente de los coeficientes principales:

$\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(a+6)x}{\sqrt{9x^{2}+ax+1}+3x-1}=\dfrac{a+6}{3+3}=\dfrac{a+6}{6}$

Se impone que valga 2:

$\dfrac{a+6}{6}=2 \Rightarrow a+6=12 \Rightarrow a=6$

$\textbf{ii) } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+a}{3x-1}\right)^{x}=e}$

La base tiende a 1 y el exponente a infinito: es la indeterminación del número $e$, que se resuelve con la regla habitual.

$\lim u(x)^{v(x)}=e^{\lim v(x)\left[u(x)-1\right]}$

$\lim_{x\to\infty}x\left(\dfrac{3x+a}{3x-1}-1\right)=\lim_{x\to\infty}x\cdot\dfrac{3x+a-3x+1}{3x-1}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{(a+1)x}{3x-1}=\dfrac{a+1}{3}$

Por tanto el límite vale $e^{\frac{a+1}{3}}$, y se impone que sea $e$:

$\dfrac{a+1}{3}=1 \Rightarrow a=2$

Los valores pedidos son $a=6$ en el primer límite y $a=2$ en el segundo.