Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2022

Dada la curva $f(x)=\frac{1}{4}x^{2}+4x+4$: [2 puntos]

i) Halle los puntos de la curva en los que la recta tangente a esta pase por el punto $(0,\,0)$.

ii) Dé las ecuaciones de las rectas tangentes.

$\textbf{i) Halle los puntos de la curva } \boldsymbol{f(x)=\frac{1}{4}x^{2}+4x+4}\textbf{ en los que la recta tangente a esta pase por el punto } \boldsymbol{(0,\,0)}$

El punto de tangencia no se conoce, así que se le llama $\left(\alpha,f(\alpha)\right)$ y se impone después la condición de pasar por el origen.

$f'(x)=\dfrac{1}{2}x+4 \Rightarrow m=f'(\alpha)=\dfrac{\alpha}{2}+4$

La recta tangente en ese punto es

$y-f(\alpha)=f'(\alpha)\,(x-\alpha)$

y ha de pasar por $(0,0)$. Sustituyendo $x=0$, $y=0$:

$-f(\alpha)=-\alpha\,f'(\alpha) \Rightarrow f(\alpha)=\alpha\,f'(\alpha)$

Se sustituyen las dos expresiones y se resuelve:

$\dfrac{\alpha^{2}}{4}+4\alpha+4=\alpha\left(\dfrac{\alpha}{2}+4\right)=\dfrac{\alpha^{2}}{2}+4\alpha$

$\dfrac{\alpha^{2}}{4}+4=\dfrac{\alpha^{2}}{2} \Rightarrow 4=\dfrac{\alpha^{2}}{4} \Rightarrow \alpha^{2}=16 \Rightarrow \alpha=\pm 4$

Se calculan las ordenadas de los dos puntos:

$f(4)=\dfrac{16}{4}+16+4=24$

$f(-4)=\dfrac{16}{4}-16+4=-8$

Los puntos pedidos son $(4,24)$ y $(-4,-8)$.

$\textbf{ii) Dé las ecuaciones de las rectas tangentes.}$

Se calculan las pendientes en cada uno de los dos puntos:

$f'(4)=2+4=6,\qquad f'(-4)=-2+4=2$

Como las dos rectas pasan por el origen, su ecuación es simplemente $y=mx$:

$y=6x \qquad\text{y}\qquad y=2x$



Se comprueba que cada recta pasa por su punto de tangencia: $6\cdot 4=24$ y $2\cdot(-4)=-8$.