Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2023

La estatura media de un jugador de fútbol del Real Madrid sigue una distribución normal de media 180 cm y desviación típica 10 cm. Si se elige un jugador al azar, calcule: [2 puntos]

i) La probabilidad de que su altura sea superior o igual a 200 cm.

ii) La probabilidad de que su altura esté entre 170 y 190 cm.

Utilice la tabla de la distribución normal tipificada.

Se llama $X$ a la estatura, en centímetros, de un jugador. Según el enunciado

$X\sim N(180,10)$

$\textbf{i) La probabilidad de que su altura sea superior o igual a 200 cm.}$

Se tipifica el valor 200 restando la media y dividiendo por la desviación típica:

$P(X\geq 200)=P\left(Z\geq\dfrac{200-180}{10}\right)=P(Z\geq 2)$

Como la tabla da probabilidades acumuladas, se pasa al suceso contrario:

$P(Z\geq 2)=1-P(Z\leq 2)=1-0{,}9772=0{,}0228$



La probabilidad de que un jugador mida 200 cm o más es $0{,}0228$, algo más de un 2 %.

$\textbf{ii) La probabilidad de que su altura esté entre 170 y 190 cm.}$

Los dos extremos son simétricos respecto de la media, y distan de ella exactamente una desviación típica:

$P(170\leq X\leq 190)=P\left(\dfrac{170-180}{10}\leq Z\leq\dfrac{190-180}{10}\right)=P(-1\leq Z\leq 1)$

La probabilidad del intervalo es la diferencia de las acumuladas en sus extremos, y la acumulada en $-1$ se obtiene por simetría de la campana:

$P(Z\leq -1)=1-P(Z\leq 1)=1-0{,}8413=0{,}1587$

$P(-1\leq Z\leq 1)=0{,}8413-0{,}1587=0{,}6826$



La probabilidad de que la altura esté entre 170 y 190 cm es $0{,}6826$.