Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Determine la posición relativa de los tres planos, según los valores del parámetro $m$: [2 puntos]

$\begin{cases} mx+y+z=1, \\ x+my+z=m, \\ x+y+mz=m^{2}. \end{cases}$

$\textbf{Determine la posición relativa de los tres planos } \boldsymbol{mx+y+z=1}\textbf{, } \boldsymbol{x+my+z=m}\textbf{ y } \boldsymbol{x+y+mz=m^{2}}\textbf{, según los valores del parámetro } \boldsymbol{m}\textbf{. [2 puntos]}$

La posición relativa de los tres planos es el carácter del sistema que forman sus ecuaciones, de modo que se discute comparando los rangos.

$M=\begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix},\qquad M'=\begin{pmatrix} m & 1 & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 & m \\ 1 & 1 & m & m^{2} \end{pmatrix}$

Las tres filas de $M$ suman lo mismo, así que se suman a la primera columna las otras dos y se saca el factor común:

$|M|=(m+2)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \end{vmatrix}=(m+2)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & m-1 & 0 \\ 0 & 0 & m-1 \end{vmatrix}=(m+2)(m-1)^{2}$

donde se ha restado la primera fila a las otras dos.

$|M|=0 \Rightarrow m=1 \quad\text{o}\quad m=-2$

$\textbf{Si } \boldsymbol{m\neq 1}\textbf{ y } \boldsymbol{m\neq -2}\textbf{: los tres planos se cortan en un punto.}$

Entonces $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=3=\text{número de incógnitas}$ y el sistema es compatible determinado. Sumando las tres ecuaciones:

$(m+2)(x+y+z)=1+m+m^{2} \Rightarrow x+y+z=\dfrac{m^{2}+m+1}{m+2}$

La primera ecuación es $(x+y+z)+(m-1)x=1$, de donde

$(m-1)x=1-\dfrac{m^{2}+m+1}{m+2}=\dfrac{1-m^{2}}{m+2} \Rightarrow x=-\dfrac{m+1}{m+2}$

y procediendo igual con las otras dos ecuaciones:

$y=\dfrac{1}{m+2},\qquad z=\dfrac{(m+1)^{2}}{m+2}$

$\textbf{Si } \boldsymbol{m=1}\textbf{: los tres planos son coincidentes.}$

Las tres ecuaciones se convierten en la misma, $x+y+z=1$, de manera que $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=1<3$: sistema compatible indeterminado con dos grados de libertad. Los tres planos son el mismo plano.

$\textbf{Si } \boldsymbol{m=-2}\textbf{: los planos forman una superficie prismática.}$

El sistema queda

$\begin{cases} -2x+y+z=1 \\ x-2y+z=-2 \\ x+y-2z=4 \end{cases}$

El menor $\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}=3\neq 0$ da $\operatorname{ran}(M)=2$. Sumando las tres ecuaciones los primeros miembros se cancelan y queda $0=3$, que es imposible, luego $\operatorname{ran}(M')=3$ y el sistema es incompatible: no hay ningún punto común a los tres planos.

Ahora bien, los tres vectores normales, $(-2,1,1)$, $(1,-2,1)$ y $(1,1,-2)$, no son proporcionales dos a dos, así que no hay dos planos paralelos: cada par se corta en una recta y las tres rectas de intersección son paralelas entre sí. Los planos determinan una superficie prismática de base triangular.