Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

La proyección ortogonal del punto $P(1,\,0,\,-1)$ sobre el plano $\pi$ es el punto $Q(-3,\,2,\,5)$. Halle la ecuación del plano $\pi$ y las coordenadas del punto simétrico de $P$ respecto a dicho plano $\pi$. [2 puntos]

$\textbf{La proyección ortogonal del punto } \boldsymbol{P(1,\,0,\,-1)}\textbf{ sobre el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ es el punto } \boldsymbol{Q(-3,\,2,\,5)}\textbf{. Halle la ecuación del plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y las coordenadas del punto simétrico de } \boldsymbol{P}\textbf{ respecto a dicho plano. [2 puntos]}$

Que $Q$ sea la proyección ortogonal de $P$ sobre el plano significa dos cosas: que $Q$ pertenece al plano y que el segmento $\overline{PQ}$ es perpendicular a él. De la segunda se saca el vector normal, y de la primera, el término independiente.

$\overrightarrow{PQ}=(-3,2,5)-(1,0,-1)=(-4,2,6)$

Como cualquier vector proporcional sirve igual de normal, se divide entre $-2$ para simplificar:

$\vec n_{\pi}=(2,-1,-3)$

$\pi:\ 2x-y-3z+D=0$

Se impone que $Q$ pertenezca al plano:

$2\cdot(-3)-2-3\cdot 5+D=0 \Rightarrow -6-2-15+D=0 \Rightarrow D=23$

$\pi:\ 2x-y-3z+23=0$

Para el simétrico basta razonar que la proyección ortogonal $Q$ es el punto medio del segmento $\overline{PP'}$, de modo que $P'=2Q-P$:

$P'=\left(2\cdot(-3)-1,\ \ 2\cdot 2-0,\ \ 2\cdot 5-(-1)\right)=(-7,\ 4,\ 11)$



Se comprueba sustituyendo los dos puntos en $2x-y-3z+23$: para $P$ se obtiene $2-0+3+23=28$ y para $P'$, $-14-4-33+23=-28$. Los valores son opuestos, luego los dos puntos equidistan del plano y están a distinto lado.

El plano es $2x-y-3z+23=0$ y el simétrico de $P$ es $P'(-7,4,11)$.