Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule los siguientes límites: [2 puntos]

i) $\displaystyle\lim_{x \to 0}(\cos 2x)^{\frac{3}{x^{2}}}$

ii) $\displaystyle\lim_{x \to \infty}(1+x)^{\frac{1}{x}}$

$\textbf{i) } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x\to 0}(\cos 2x)^{\frac{3}{x^{2}}}}$

Se sustituye para reconocer la indeterminación:

$(\cos 0)^{\frac{3}{0}}=1^{\infty}$

Es la indeterminación del número $e$, y se resuelve con la regla habitual:

$\lim u(x)^{v(x)}=e^{\lim v(x)\left[u(x)-1\right]}$

$\lim_{x\to 0}\dfrac{3}{x^{2}}\left(\cos 2x-1\right)=3\lim_{x\to 0}\dfrac{\cos 2x-1}{x^{2}}$

El límite que queda es una indeterminación $\frac{0}{0}$; aplicando la regla de L'Hôpital dos veces:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{\cos 2x-1}{x^{2}}=\lim_{x\to 0}\dfrac{-2\operatorname{sen} 2x}{2x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{-4\cos 2x}{2}=-2$

$\lim_{x\to 0}(\cos 2x)^{\frac{3}{x^{2}}}=e^{3\cdot(-2)}=e^{-6}\approx 0{,}00248$

$\textbf{ii) } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x\to\infty}(1+x)^{\frac{1}{x}}}$

Aquí la base tiende a infinito y el exponente a cero, de modo que la indeterminación es $\infty^{0}$ y no la del número $e$. Se toman logaritmos, llamando $L$ al límite:

$\ln L=\lim_{x\to\infty}\dfrac{\ln(1+x)}{x}$

Esa expresión es una indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$, y por la regla de L'Hôpital:

$\lim_{x\to\infty}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{\frac{1}{1+x}}{1}=0$

$\ln L=0 \Rightarrow L=e^{0}=1$

Los límites pedidos valen $e^{-6}$ y $1$.