Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Dibuje el recinto limitado por las parábolas $y=x^{2}-8x$ e $y=10-x^{2}$ y calcule su área. [2 puntos]

$\textbf{Dibuje el recinto limitado por las parábolas } \boldsymbol{y=x^{2}-8x}\textbf{ e } \boldsymbol{y=10-x^{2}}\textbf{ y calcule su área. [2 puntos]}$

Se localizan primero los puntos de corte, que son los límites de integración.

$x^{2}-8x=10-x^{2} \Rightarrow 2x^{2}-8x-10=0 \Rightarrow x^{2}-4x-5=0$

$x=\dfrac{4\pm\sqrt{16+20}}{2}=\dfrac{4\pm 6}{2} \Rightarrow x=-1,\ x=5$

Para dibujar el recinto se sitúan las dos parábolas. La primera, $y=x^{2}-8x$, se abre hacia arriba y tiene el vértice en $x=\dfrac{8}{2}=4$, es decir, en $(4,-16)$; la segunda, $y=10-x^{2}$, se abre hacia abajo con el vértice en $(0,10)$. Entre $-1$ y $5$ la de arriba es esta última, como se comprueba en $x=0$: vale 10 frente a 0.



El área es la integral de la diferencia entre la curva superior y la inferior:

$A=\int_{-1}^{5}\left[\left(10-x^{2}\right)-\left(x^{2}-8x\right)\right]dx=\int_{-1}^{5}\left(10+8x-2x^{2}\right)dx$

$=\left[10x+4x^{2}-\dfrac{2x^{3}}{3}\right]_{-1}^{5}$

$=\left(50+100-\dfrac{250}{3}\right)-\left(-10+4+\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{200}{3}-\left(-\dfrac{16}{3}\right)=\dfrac{216}{3}=72$

El área del recinto es de $72$ unidades cuadradas.