Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2023

Sea $f(x)=\dfrac{1+4x^{4}-x^{2}}{x}$. [2 puntos]

i) Halle el dominio y las asíntotas (horizontales, verticales y oblicuas) de la función $f$, en caso de que existan.

ii) Halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos si los hubiera.

Conviene empezar dividiendo, porque la expresión se simplifica mucho y todo lo demás sale de ahí:

$f(x)=\dfrac{1+4x^{4}-x^{2}}{x}=4x^{3}-x+\dfrac{1}{x}$

$\textbf{i) Halle el dominio y las asíntotas (horizontales, verticales y oblicuas) de la función } \boldsymbol{f}\textbf{, en caso de que existan.}$

Es una función racional cuyo denominador solo se anula en el origen:

$\text{Dom}\,f=\mathbb{R}-\{0\}$

La única candidata a asíntota vertical es $x=0$, y allí el numerador vale 1, distinto de cero:

$\lim_{x\to 0^{+}}\left(4x^{3}-x+\dfrac{1}{x}\right)=+\infty,\qquad \lim_{x\to 0^{-}}\left(4x^{3}-x+\dfrac{1}{x}\right)=-\infty$

$x=0$ es asíntota vertical.

Para las horizontales, el grado del numerador, 4, supera al del denominador, 1:

$\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$

No hay asíntota horizontal. Para las oblicuas, $y=mx+n$, se calcula la pendiente:

$m=\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{4x^{4}-x^{2}+1}{x^{2}}=\infty$

Como la pendiente no es finita, tampoco hay asíntota oblicua. Era de esperar: la diferencia de grados es 3, y solo hay asíntota oblicua cuando esa diferencia vale exactamente 1.

$\textbf{ii) Halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos si los hubiera.}$

Se deriva la expresión ya simplificada:

$f'(x)=12x^{2}-1-\dfrac{1}{x^{2}}=\dfrac{12x^{4}-x^{2}-1}{x^{2}}$

El denominador es positivo en todo el dominio, así que el signo de $f'(x)$ es el del numerador. Este es una ecuación bicuadrada; con el cambio $u=x^{2}$:

$12u^{2}-u-1=0 \Rightarrow u=\dfrac{1\pm\sqrt{1+48}}{24}=\dfrac{1\pm 7}{24} \Rightarrow u=\dfrac{1}{3} \ \text{o}\ u=-\dfrac{1}{4}$

La segunda raíz se descarta, porque $u=x^{2}$ no puede ser negativo. De la primera:

$x^{2}=\dfrac{1}{3} \Rightarrow x=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Factorizando, $12x^{4}-x^{2}-1=\left(3x^{2}-1\right)\left(4x^{2}+1\right)$, y como el segundo factor es siempre positivo, el signo de la derivada es el de $3x^{2}-1$: negativo entre las dos raíces y positivo fuera.



$f$ es creciente en $\left(-\infty,-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)$ y en $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3},+\infty\right)$, y decreciente en $\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3},0\right)$ y en $\left(0,\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

En $x=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ pasa de crecer a decrecer: máximo relativo. En $x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo. Se calculan las ordenadas:

$f\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)=4\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{9}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=\dfrac{4\sqrt{3}-3\sqrt{3}+9\sqrt{3}}{9}=\dfrac{10\sqrt{3}}{9}\approx 1{,}9245$

La función es impar, porque $f(-x)=-4x^{3}+x-\dfrac{1}{x}=-f(x)$, de modo que el otro valor es el opuesto:

$f\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\dfrac{10\sqrt{3}}{9}\approx -1{,}9245$

Hay un máximo relativo en $\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3},\ -\dfrac{10\sqrt{3}}{9}\right)$ y un mínimo relativo en $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3},\ \dfrac{10\sqrt{3}}{9}\right)$. Como antes, no hay contradicción en que el máximo esté por debajo del mínimo: la asíntota vertical separa las dos ramas.