Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

En una empresa automovilística se ha recibido un lote de piezas de coches de tipos A, B y C. El 80 % corresponde al coche de tipo A, el 10 % al B y el resto al C. Se ha observado que hay piezas defectuosas en los siguientes porcentajes: el 10 % de A, el 20 % de B y el 5 % de C. Se elige una pieza al azar. Calcule: [2 puntos]

i) La probabilidad de coger una pieza defectuosa.

ii) Si se sabe que la pieza es defectuosa, la probabilidad de que sea del tipo A.

Se nombran los sucesos:

$A$, $B$ y $C\equiv$ la pieza elegida es del tipo A, B o C; $D\equiv$ la pieza es defectuosa.

El enunciado da las proporciones de cada tipo en el lote y, dentro de cada uno, la proporción de defectuosas. El resto hasta el 100 % corresponde al tipo C:

$P(A)=0{,}8,\quad P(B)=0{,}1,\quad P(C)=0{,}1$

$P(D|A)=0{,}1,\quad P(D|B)=0{,}2,\quad P(D|C)=0{,}05$

Al elegir la pieza se decide primero el tipo y después si sale defectuosa, así que el experimento se organiza en un árbol de dos etapas:



$\textbf{i) La probabilidad de coger una pieza defectuosa.}$

Los tres tipos forman un sistema completo de sucesos, de modo que se aplica el teorema de la probabilidad total: se suman las tres ramas del árbol que acaban en $D$.

$P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)$

$P(D)=0{,}8\cdot 0{,}1+0{,}1\cdot 0{,}2+0{,}1\cdot 0{,}05$

$P(D)=0{,}08+0{,}02+0{,}005=0{,}105$

La probabilidad de coger una pieza defectuosa es $0{,}105$, es decir, un $10{,}5\ \%$.

$\textbf{ii) Si se sabe que la pieza es defectuosa, la probabilidad de que sea del tipo A.}$

Ahora la condición va en sentido contrario al de los datos, así que se aplica el teorema de Bayes: se divide la rama favorable entre la probabilidad total ya calculada.

$P(A|D)=\dfrac{P(A)P(D|A)}{P(D)}=\dfrac{0{,}08}{0{,}105}=\dfrac{16}{21}\approx 0{,}7619$

Sabiendo que la pieza es defectuosa, la probabilidad de que sea del tipo A es $\dfrac{16}{21}\approx 0{,}7619$.