Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Determine la posición relativa de la recta $\dfrac{x-3}{0}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-5}{1}$ y el plano de ecuación $3x+2y-11z+3=0$. [2 puntos]

$\textbf{Determine la posición relativa de la recta } \boldsymbol{\dfrac{x-3}{0}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-5}{1}}\textbf{ y el plano de ecuación } \boldsymbol{3x+2y-11z+3=0}\textbf{. [2 puntos]}$

De la ecuación continua de la recta se leen directamente un punto y un vector director; el cero del primer denominador no es una división, sino la manera convencional de decir que la primera componente del director es nula.

$r:\ A(3,-1,5),\qquad \vec v_{r}=(0,1,1)$

$\pi:\ \vec n_{\pi}=(3,2,-11)$

Lo que decide la posición relativa es si el director de la recta es perpendicular al normal del plano, es decir, si su producto escalar se anula.

$\vec v_{r}\cdot\vec n_{\pi}=0\cdot 3+1\cdot 2+1\cdot(-11)=-9\neq 0$

Como no se anula, la recta no es paralela al plano ni está contenida en él: la recta y el plano son secantes y se cortan en un único punto.



Para hallarlo se escribe la recta en paramétricas y se sustituye en la ecuación del plano.

$r:\ \begin{cases} x=3 \\ y=-1+t \\ z=5+t \end{cases},\qquad t\in\mathbb{R}$

$3\cdot 3+2(-1+t)-11(5+t)+3=0$

$9-2+2t-55-11t+3=0 \Rightarrow -45-9t=0 \Rightarrow t=-5$

$x=3,\qquad y=-1-5=-6,\qquad z=5-5=0$

Se comprueba en la ecuación del plano: $3\cdot 3+2\cdot(-6)-11\cdot 0+3=9-12+3=0$.

La recta y el plano son secantes, y se cortan en el punto $(3,-6,0)$.